高校数学マスター演習

1. 弧度法

角度を「度（°）」じゃなくて「ラジアン（rad）」で表す方法。
数学IIからはラジアンがメインになるから、しっかり覚えよう！

🔑 変換のやり方

180° = \pi \text{ rad}

90° = \frac{\pi}{2} \text{ rad}

60° = \frac{\pi}{3} \text{ rad}

45° = \frac{\pi}{4} \text{ rad}

30° = \frac{\pi}{6} \text{ rad}

半径1の円（単位円）の上で sin, cos, tan を理解するのが一番わかりやすい！
下の図で、角度 θ の点の座標が (cosθ, sinθ) になるよ。

🔑 基本公式

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

🔑 グラフの周期

y = \sin x \;\text{ の周期: } 2\pi

y = \cos x \;\text{ の周期: } 2\pi

y = \tan x \;\text{ の周期: } \pi

三角関数の中で最重要公式！
2倍角や半角の公式も、全部ここから導けるよ。

🔑 加法定理

\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta

\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta

\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta

\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}

💡 覚え方: sin は「サイン・コス・コス・サイン」、cos は「コス・コス・サイン・サイン」。
sin の間は＋で、cos の間は－だよ。

🔑 2倍角の公式（加法定理から導ける）

\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta

\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta

a sinθ + b cosθ を1つの sin にまとめる技。
最大値・最小値の問題でめちゃくちゃ使う！

🔑 合成の公式

a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\;\sin(\theta + \alpha)

ただし

\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\;\sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

📝 例: sinθ + cosθ → r = √(1+1) = √2
よって sinθ + cosθ = √2 sin(θ + π/4)

Q1.60° を弧度法で表すとどれか？

Q2.sin(π/6) の値は？

Q3.cos(2π/3) の値は？

Q4.tan(π/4) の値は？

Q5.sin(α+β) の展開として正しいものはどれか？

Q6.cos(α+β) の展開として正しいものはどれか？

Q7.y = sin x のグラフの周期はどれか？

Q8.sin²θ + cos²θ の値は？

Q9.三角関数の合成で、sin θ + cos θ を r sin(θ+α) の形にしたとき、r の値は？

Q10.sin 2θ を sinθ, cosθ で表すとどうなる？