高校数学マスター演習

1. 複素数

「2乗したら -1 になる数」を 虚数単位 i と呼ぶよ。
実数だけじゃ解けなかった方程式も、i を使えば解けるようになる！

🔑 複素数の基本

i^2 = -1

z = a + bi \quad (a, b \text{ は実数})

🔑 四則演算

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

📝 共役複素数: $\overline{a+bi} = a - bi$
掛けると実数になる！ $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を α, β とすると、
解を求めなくても和と積がわかる超便利な公式！

🔑 解と係数の関係

\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \frac{c}{a}

💡 よく出る変換:
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$
α+β と αβ がわかれば、α² + β² も計算できる！

🔑 判別式

D = b^2 - 4ac

D > 0 \Rightarrow \text{異なる2つの実数解}

D = 0 \Rightarrow \text{重解}

D < 0 \Rightarrow \text{異なる2つの虚数解}

整式 P(x) を (x-a) で割った余りは、P(a) を代入するだけでわかる！
割り算しなくていいからめちゃくちゃ楽だよ。

🔑 剰余の定理

P(x) = Q(x)(x-a) + P(a)

🔑 因数定理

P(a) = 0 \Leftrightarrow P(x) \text{ は } (x-a) \text{ で割り切れる}

P(a) = 0 なら (x-a) が因数！

3次以上の方程式は、まず因数定理で1つ解を見つけるのがコツ！
定数項の約数（±1, ±2, ...）を代入してP(a) = 0 になるものを探そう。

💡 高次方程式の解き方:
① 定数項の約数を P(x) に代入して P(a) = 0 を見つける
② (x-a) で割って次数を下げる
③ 2次式になったら解の公式で解く

📝 例: x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
P(1) = 1-6+11-6 = 0 → (x-1) が因数！
(x-1)(x²-5x+6) = (x-1)(x-2)(x-3) = 0
よって x = 1, 2, 3

Q1.i² の値はどれか？

Q2.(2 + 3i) + (4 - i) を計算せよ。

Q3.(1 + 2i)(3 - i) を計算せよ。

Q4.二次方程式 x² - 5x + 6 = 0 の2つの解の和はいくつか？

Q5.二次方程式 x² - 5x + 6 = 0 の2つの解の積はいくつか？

Q6.x² + 2x + 5 = 0 の判別式 D の値は？

Q7.P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 について、P(1) の値は？

Q8.x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 の解をすべて選べ。

Q9.2次方程式の解と係数の関係で、α² + β² を α+β と αβ で表すとどうなる？

Q10.整式 P(x) を (x-a) で割った余りは何に等しいか？