高校数学マスター演習

1. 場合の数って何？

「何通りあるか？」を数えること。
基本は樹形図（枝分かれの図）で数えるけど、数が多くなると公式を使うよ。

🔑 基本のルール

📝 例: 上着3着 × ズボン4着 = 12通りの組み合わせ（積の法則）

順番が大事な並べ方の数。
「AさんBさんCさん」と「CさんBさんAさん」は別物として数える。

🔑 順列の公式

n個からr個を選んで並べる：

_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}

n!（階乗）とは：

n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1

5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120

📝 例: 5人から3人を選んで一列に並べる →
$_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り

順番は関係ない選び方の数。
「AさんBさん」と「BさんAさん」は同じとして数える。

🔑 組み合わせの公式

_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}

📝 例: 5人から2人を選ぶ →
$_5C_2 = \frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

💡 順列と組み合わせの見分け方:
「並べる」「順番をつける」→ 順列（P）
「選ぶ」「グループを作る」→ 組み合わせ（C）

ある出来事が起こる「どれくらいありそうか」を0〜1の数字で表したもの。
0なら絶対起こらない、1なら必ず起こる。

🔑 確率の基本

P(A) = \frac{A\text{が起こる場合の数}}{\text{全体の場合の数}}

🔑 余事象（「〜じゃない」確率）

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

💡 「少なくとも1つ〜」の問題は余事象が楽！
全体（100%）から、起こる確率を引くだけ！

🔑 和の法則（AまたはBが起こる確率）

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

「重なり（共通部分）」を引いて調整！

もし、AとBが「排反」（絶対に同時に起こらない）なら：

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

📝 例: さいころで偶数が出る確率 = {2,4,6} の3通り ÷ 全6通り = 1/2

Q1.5人の中から3人を選ぶ組み合わせは何通り？

Q2.5人を一列に並べる並べ方は何通り？

Q3.1個のさいころを投げて、3以下の目が出る確率は？

P(X \leq 3)

Q4.赤玉3個、白玉2個の袋から2個取り出すとき、2個とも赤の確率は？

Q5.A, B, C, D, E の5文字から3文字を選んで並べる順列は何通り？

Q6.コインを3回投げて、ちょうど2回表が出る確率は？

Q7.さいころを2回投げて、目の和が7になる確率は？

Q8.7人の中から委員長1人、副委員長1人を選ぶ方法は何通り？

Q9.事象Aの確率がP(A) = 0.3のとき、Aが起こらない確率は？

Q10.BOOK の4文字を並び替える方法は何通り？（Oが2個ある）