高校数学マスター演習

1. 複素数平面って何？

複素数を「平面上の点」として表す方法だよ。
横軸（実軸）に実部、縦軸（虚軸）に虚部をとると、1つの複素数が1つの点に対応する！

🔑 複素数の表し方

z = a + bi \quad (a,b \in \mathbb{R})

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

絶対値 |z| は原点からの距離！

複素数を「距離 r」と「角度 θ」で表す方法。
かけ算・割り算がめちゃくちゃ楽になるのが最大のメリット！

🔑 極形式

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

r は絶対値、θ は偏角（実軸からの角度）

🔑 極形式でのかけ算・割り算

z_1 z_2 = r_1 r_2 \bigl(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\bigr)

絶対値はかけて、偏角は足す！

\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \bigl(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\bigr)

絶対値は割って、偏角は引く！

複素数の n 乗をサクッと計算できる超便利な定理！
1 の n 乗根を求めるときにも大活躍するよ。

🔑 ド・モアブルの定理

(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta

💡 使い方のコツ:
① まず複素数を極形式にする
② 絶対値は n 乗、偏角は n 倍する
③ cos, sin の値を求めて a+bi の形に直す

複素数の演算には図形的な意味があるんだ。
共役複素数は実軸に関する対称点、|z - α| = r は円を表すよ！

🔑 覚えておこう

\overline{z} = a - bi

共役複素数 = 実軸に関する鏡写し

z \cdot \overline{z} = |z|^2

|z - \alpha| = r \quad \Rightarrow \quad \text{中心 } \alpha\text{, 半径 } r \text{ の円}

📝 例: |z - (1+i)| = 2 は、点 (1,1) を中心とした半径 2 の円！

Q1.複素数 3 + 4i の絶対値はいくつか？

Q2.複素数 1 + i を極形式で表せ。

Q3.ド・モアブルの定理を使い、(cos θ + i sin θ)³ を簡単にせよ。

Q4.複素数 z = 2i の偏角（0 ≤ θ < 2π）はいくつか？

Q5.z = 1 + √3 i の偏角は？

Q6.複素数 z の共役複素数を z̄ とするとき、z·z̄ は何に等しいか？

Q7.複素数平面上で |z - (1+i)| = 2 はどんな図形を表すか？

Q8.(1+i)⁶ の値を求めよ。

Q9.z₁ = 2(cos60° + i sin60°), z₂ = 3(cos30° + i sin30°) のとき |z₁z₂| はいくつ？

Q10.1 の3乗根（z³ = 1 の解）のうち、虚部が正のものはどれか？