高校数学マスター演習

1. 指数法則

数学Iの累乗を拡張して、指数が分数やマイナスでもOKにしたもの！
ルールさえ覚えれば計算はシンプルだよ。

🔑 指数法則

a^m \times a^n = a^{m+n}

a^m \div a^n = a^{m-n}

(a^m)^n = a^{mn}

(ab)^n = a^n b^n

🔑 指数の拡張

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

マイナスの指数 → 逆数にするだけ！

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

分数の指数 → ルートに変換！

y = aˣ のグラフは底 a の大きさで形が変わるよ。
a > 1 なら右上がり、0 < a < 1 なら右下がり！

💡 ポイント: 指数関数は必ず (0, 1) を通る！（a⁰ = 1 だから）
そして y > 0 で、x軸には近づくけど交わらない（漸近線）。

対数（ログ）は「何乗したらその数になるか」を表すもの。
指数の逆演算と考えるとわかりやすいよ。

🔑 対数の定義

\log_a b = c \;\Leftrightarrow\; a^c = b

「a を c 乗したら b」←→「logₐ b = c」

🔑 対数の計算法則

\log_a MN = \log_a M + \log_a N

\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N

\log_a M^k = k\log_a M

\log_a 1 = 0

\log_a a = 1

📝 底の変換公式: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$
底を揃えたいときに使う超便利な公式！

y = logₐ x は、y = aˣ のグラフを y = x で折り返したもの！
必ず (1, 0) を通り、x > 0 の範囲でのみ定義されるよ。

底が10の対数 $\log_{10} N$ を常用対数という。
「桁数を求める問題」が定番パターンだよ！

🔑 桁数の求め方

\text{桁数} = \lfloor \log_{10} N \rfloor + 1

📝 例: 2¹⁰ は何桁？
log₁₀ 2¹⁰ = 10 × log₁₀ 2 = 10 × 0.3010 = 3.010
3 ≤ 3.010 < 4 → 4桁（実際 2¹⁰ = 1024）

Q1.2³ × 2⁴ の値はいくつか？

Q2.次の値を求めよ。

\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}

Q3.次の値を求めよ。

\log_2 8

Q4.次の値を求めよ。

\log_3 \frac{1}{9}

Q5.log₁₀ 2 = 0.3010 のとき、log₁₀ 5 の値は？

Q6.次の式を簡単にせよ。

\log_2 4 + \log_2 8

Q7.y = 2ˣ のグラフについて正しいものはどれか？

Q8.y = log₂ x のグラフが通る点はどれか？

Q9.次の値を求めよ。

9^{\frac{1}{2}}

Q10.2ˣ = 16 のとき、x の値は？