高校数学マスター演習

1. 整式の割り算

整式の割り算は、数の割り算と同じ考え方！
「割られる式＝商 × 割る式＋余り」の関係が成り立つよ。

🔑 基本の関係式

P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)

（割られる式）＝（商）×（割る式）＋（余り）

📝 やってみよう: 筆算と同じ要領で、最高次の項から順に割っていくだけ！
組立除法を使うと、1次式で割るときはもっと速く計算できるよ。

分数式は、分母・分子が整式の分数のこと。
計算のやり方は普通の分数とまったく同じだよ！

🔑 分数式の計算ルール

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

💡 約分を忘れずに！ 分母・分子を因数分解してから共通因数を消そう。
$\frac{x^2 - 1}{x + 1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x+1} = x - 1$

恒等式とは「どんな x の値でも成り立つ等式」のこと。
つまり、左辺と右辺の各次数の係数がすべて等しくなるんだ。

🔑 係数比較法

ax^2 + bx + c = a'x^2 + b'x + c'

が恒等式 ⟹

a = a',\; b = b',\; c = c'

📝 部分分数分解もよく出る！
$\frac{3}{x(x+1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1}$ のように、分数を分けて a, b を求めるパターンだよ。

不等式の証明は「差を作って0以上」を示すのが基本！
あと、相加平均・相乗平均の関係もめちゃくちゃ大事だよ。

🔑 相加平均 ≥ 相乗平均

a + b \geq 2\sqrt{ab} \quad (a > 0,\; b > 0)

等号は a = b のとき成立

🔑 差を作る証明

a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 \geq 0

⟹

a^2 + b^2 \geq 2ab

💡 証明の手順:
① 左辺 − 右辺を計算する
② それが ≥ 0 であることを示す（2乗の形に変形するのがコツ！）
③ 等号成立条件も忘れずに書く

Q1.整式 P(x) = 2x³ + 5x² - 3x + 1 を x + 2 で割ったときの余りを求めよ。

Q2.次の分数式を約分せよ。

\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}

Q3.等式 ax² + bx + c = 2x² - 3x + 5 が x についての恒等式であるとき、a の値は？

Q4.次の分数式の和を求めよ。

\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}

Q5.整式 x³ + 2x² - 5x + 2 を x - 1 で割ったときの商と余りについて、余りはいくつか？

Q6.a > 0, b > 0 のとき、相加平均・相乗平均の関係から、a + b の最小値について正しいのはどれか？

ab = 9

Q7.恒等式の係数を求めよ。

\frac{3}{x(x+3)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+3}

Q8.次の不等式を証明するために使う式変形として正しいものはどれか。

a^2 + b^2 \geq 2ab

Q9.次の分数式を簡単にせよ。

\frac{x^2 - 1}{x^2 - x} \div \frac{x + 1}{x}

Q10.a > 0, b > 0 のとき、次の不等式が成り立つことを示すのに最も適切な方法は？

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2