高校数学マスター演習

1. 数列の極限

n を限りなく大きくしたとき、数列 { aₙ } がある値に近づくなら「収束する」と言うよ。
近づく先の値を「極限値」と呼ぶ。

🔑 基本事項

\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha

|r| < 1 \;\Rightarrow\; \lim_{n \to \infty} r^n = 0

等比数列は |r| < 1 のとき 0 に収束！

💡 はさみうちの原理: 上と下から挟めば極限が決まる！

a_n \leq b_n \leq c_n \text{ かつ } \lim a_n = \lim c_n = \alpha \;\Rightarrow\; \lim b_n = \alpha

数列の項を無限に足していったものが無限級数。
等比級数は公比の絶対値が 1 未満なら収束して、和が求められるよ！

🔑 無限等比級数の和

\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r} \quad (|r| < 1)

📝 例: 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 1/(1-1/2) = 2

x がある値に近づくとき f(x) がどうなるかを調べるのが関数の極限。
以下の3つは入試で超頻出だから絶対覚えよう！

🔑 超重要な極限公式

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1

\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1

🔑 自然対数の底 e の定義

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

「グラフが途切れない」ことを数学的に表したのが連続性。
極限値と関数の値が一致すれば連続だよ！

🔑 連続の定義

\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \;\Leftrightarrow\; f \text{ は } x=a \text{ で連続}

注意！ 左からの極限と右からの極限が一致しないと、極限自体が存在しない！
例: |x|/x は x=0 で不連続。

Q1.次の極限値を求めよ。

\lim_{n \to \infty} \frac{3n+1}{n+2}

Q2.次の極限値を求めよ。

\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{2^n}

Q3.無限等比級数 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... の和を求めよ。

Q4.次の極限値を求めよ。

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}

Q5.次の極限値を求めよ。

\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+3}{x^2-1}

Q6.等比数列 {rⁿ} が収束するための条件はどれか？

Q7.次の極限値を求めよ。

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}

Q8.数列 aₙ = (-1)ⁿ は収束するか？

Q9.次の無限級数は収束するか？

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

Q10.次の極限値を求めよ。

\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}