高校数学マスター演習

1. 等差数列

「同じ数をずっと足していく」数列のこと。足す数を公差 d って呼ぶよ。

📝 例: $a_1 = 2,\; d = 3 \quad \Rightarrow \quad 2,\; 5,\; 8,\; 11,\; 14,\; \ldots$

🔑 公式

一般項（第 n 項）:

a_n = a_1 + (n-1)d

初項から第 n 項までの和:

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2}

「同じ数をずっとかけていく」数列。かける数を公比 r って呼ぶよ。

📝 例: $a_1 = 3,\; r = 2 \quad \Rightarrow \quad 3,\; 6,\; 12,\; 24,\; 48,\; \ldots$

🔑 公式

一般項:

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

初項から第 n 項までの和:

S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1} \quad (r \neq 1)

💡 注意: 公比 r = 1 のときは全部同じ数が並ぶだけなので、和は単純に S = na₁ だよ。

Σは「全部足す」っていう意味の記号。長い足し算を短く書けて超便利！

🔑 覚えるべき3つの公式

\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}

\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2

🔑 Σの性質（分解テクニック）

\sum_{k=1}^{n} c = cn

\sum_{k=1}^{n} (ak + b) = a\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} b

💡 コツ: どんな複雑なΣも、上の公式に分解して当てはめるだけ！
まずは定数を外に出して、k の何乗の和かを見極めよう。

「次の項と前の項の関係」を式で表したもの。漸化式から一般項を求めるのがゴールだよ。

🔑 基本パターン

a_{n+1} = a_n + d \quad \Rightarrow \quad \text{等差数列}

a_{n+1} = r \cdot a_n \quad \Rightarrow \quad \text{等比数列}

🔑 少し難しいパターン

$a_{n+1} = p \cdot a_n + q$ の形のとき:

特性方程式 α = pα + q を解いて $\alpha = \frac{q}{1 - p}$ を求め、

a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha)

の形にすると等比数列に帰着できる！

注意！ 漸化式は「初項」と「関係式」の2つセットで数列が決まるよ。初項を忘れずに！

Q1.初項 3、公差 5 の等差数列の第 10 項を求めよ。

Q2.初項 2、公差 3 の等差数列の初項から第 20 項までの和を求めよ。

Q3.初項 2、公比 3 の等比数列の第 5 項を求めよ。

Q4.初項 1、公比 2 の等比数列の初項から第 8 項までの和を求めよ。

Q5.次の和を求めよ。

\sum_{k=1}^{10} k

Q6.次の和を求めよ。

\sum_{k=1}^{5} k^2

Q7.次の和を求めよ。

\sum_{k=1}^{4} 3^k

Q8.漸化式 a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ + 4 で定まる数列の第 6 項は？

Q9.漸化式 a₁ = 3, aₙ₊₁ = 2aₙ で定まる数列の第 5 項は？

Q10.次の和を求めよ。

\sum_{k=1}^{n} (2k - 1)