高校数学マスター演習

1. 極限

「x がある値に限りなく近づくとき、f(x) がどんな値に近づくか」が極限。
微分の土台になる大事な考え方だよ。

🔑 極限の記法

\lim_{x \to a} f(x) = L

x が a に近づくとき f(x) は L に近づく

微分は「変化の割合の瞬間バージョン」。
グラフの接線の傾きを求めるイメージだよ！

🔑 微分係数の定義

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

🔑 微分の公式（これだけでOK！）

(x^n)' = nx^{n-1}

(c)' = 0

\{f(x) + g(x)\}' = f'(x) + g'(x)

\{kf(x)\}' = kf'(x)

曲線 y = f(x) 上の点 (a, f(a)) における接線は、傾きが f'(a) の直線！

🔑 接線の方程式

y - f(a) = f'(a)(x - a)

f'(x) の符号（＋かーか）で、f(x) が増えてるか減ってるかがわかる！
これを表にまとめたのが増減表だよ。

🔑 極値の判定

f'(x): + \to 0 \to - \;\Rightarrow\; \text{極大}

f'(x): - \to 0 \to + \;\Rightarrow\; \text{極小}

💡 増減表の書き方:
① f'(x) = 0 の解を求める
② 各区間で f'(x) の符号を調べる
③ f(x) の増減と極値を表にまとめる

積分は微分の逆演算！「微分したらこうなる元の関数」を求めるイメージだよ。

🔑 不定積分の公式

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)

\int k \, dx = kx + C

注意！ 積分定数 +C を忘れずに！
不定積分では必ず C をつけよう。

定積分は「上端と下端を決めて積分する」もの。
原始関数に代入して引くだけ！

🔑 定積分の計算

\int_a^b f(x) \, dx = \bigl[F(x)\bigr]_a^b = F(b) - F(a)

定積分を使えば、曲線とx軸（または2つの曲線）で囲まれた面積が求められる！

🔑 面積の公式

S = \int_a^b |f(x)| \, dx

S = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx

💡 x軸の下側にある部分は、定積分の値がマイナスになる。
面積を求めるときは絶対値をとるのを忘れずに！

Q1.次の極限値を求めよ。

\lim_{x \to 2} (3x + 1)

Q2.f(x) = x³ の導関数 f'(x) はどれか？

Q3.f(x) = 2x² + 3x - 1 の導関数 f'(x) はどれか？

Q4.y = x² 上の点 (1, 1) における接線の傾きは？

Q5.f(x) = x³ - 3x の極値を調べるとき、f'(x) = 0 となる x は？

Q6.次の不定積分を求めよ。

\int 3x^2 \, dx

Q7.次の定積分を計算せよ。

\int_0^2 2x \, dx

Q8.次の定積分を計算せよ。

\int_1^3 (2x + 1) \, dx

Q9.y = x² と x軸で囲まれた部分の面積を x = 0 から x = 1 で求めよ。

Q10.f(x) = x³ - 3x について、x = -1 は極大と極小のどちらか？