数学B 公式集

数列・統計的な推測の公式をやさしく解説しているよ！📝 具体例つきだから、イメージしやすいはず！

1. 数列

数列は「ある規則で並んだ数の列」だよ！ルールを見つけて公式に当てはめるのがポイント⚡

🔑 等差数列（同じ数ずつ増える数列）

初項 $a_1$ （最初の数）と公差 $d$ （毎回足す数）で決まるよ！

💡 たとえば初項2, 公差3の等差数列 → 2, 5, 8, 11, 14, ... 毎回3ずつ増えてるね！

一般項（n番目の数を求める式）：

a_n = a_1 + (n-1)d

📝 上の例だと、5番目の数 = 2 + (5-1)×3 = 2 + 12 = 14 で合ってるね！

和の公式（最初からn個の合計）：

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2}

💡 覚え方のコツ：「（最初＋最後）× 個数 ÷ 2」だよ！ 2+5+8+11+14 = (2+14)×5÷2 = 40

🔑 等比数列（同じ数を掛けていく数列）

初項 $a_1$ と公比 $r$ （毎回掛ける数）で決まるよ！

💡 たとえば初項3, 公比2の等比数列 → 3, 6, 12, 24, 48, ... 毎回2倍だね！

一般項：

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

📝 上の例だと、4番目の数 = 3 × 2³ = 3 × 8 = 24 だよ！

和の公式：

S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1)

⚡ ここが大事！ $r = 1$ のときはこの公式使えないよ。そのときは全部同じ数だから $S_n = n \cdot a_1$ でOK！

🔑 Σ（シグマ）公式

Σは「全部足し算するよ」という記号だよ！計算を楽にしてくれる便利な公式集だ⚡

💡 $\sum_{k=1}^{n} k$ は「1+2+3+...+n」という意味。Σの下が開始、上が終了だよ！

定数の和（cをn回足すだけ）：

\sum_{k=1}^{n} c = cn

1からnまでの和：

\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}

📝 n=10 なら 1+2+...+10 = 10×11÷2 = 55 だよ！

2乗の和：

\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

📝 n=3 なら 1²+2²+3² = 1+4+9 = 14。公式だと 3×4×7÷6 = 14 で一致！

3乗の和：

\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2

💡 覚え方のコツ：3乗の和 =（1からnの和）の2乗なんだよ！すごくない？

等比数列の和（Σ版）：

\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1)

🔑 無限等比級数（永遠に足し続けたら？）

公比の絶対値が1より小さい（ $|r| < 1$ ）とき、無限に足しても値が決まるよ！

\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1 - r} \quad (|r| < 1)

📝 a=1, r=1/2 なら 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1/(1-1/2) = 2 に収束するよ！

⚡ ここが大事！ |r| ≧ 1 だと発散（値が決まらない）するから、この公式は使えないよ！

🔑 階差数列（隣との差に注目！）

数列 $\{a_n\}$ の「隣どうしの差」を並べたものが階差数列 $\{b_n\}$ だよ！

💡 数列 1, 2, 4, 7, 11, ... の隣との差は → 1, 2, 3, 4, ... これが階差数列！差が等差数列になってるね

階差の定義：

b_n = a_{n+1} - a_n

元の数列を階差から求める（n ≧ 2 のとき）：

a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \quad (n \geq 2)

⚡ ここが大事！ n=1 のときは公式が使えないから、必ず別で確認してね！

🔑 漸化式の基本パターン

漸化式は「次の項を前の項から作るルール」だよ。パターンを見分けるのがコツ！

パターン1：等比型 — $a_{n+1} = p\,a_n$

a_n = a_1 \cdot p^{n-1}

💡 毎回p倍するだけだから、そのまま等比数列だね！ a₁=2, p=3 なら → 2, 6, 18, 54, ...

パターン2：特性方程式型 — $a_{n+1} = p\,a_n + q$

まず「特性方程式」で $\alpha$ を求めるよ：

\alpha = p\alpha + q \implies \alpha = \frac{q}{1-p}

すると $a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha)$ と変形できて、 $\{a_n - \alpha\}$ が等比数列になるよ！

📝 例：a₁=1, aₙ₊₁ = 2aₙ + 3 → α = 3/(1-2) = -3。aₙ - (-3) = aₙ + 3 が公比2の等比数列！

パターン3：階差利用型 — $a_{n+1} = p\,a_n + f(n)$

両辺を $p^{n+1}$ で割って、 $b_n = \dfrac{a_n}{p^n}$ とおくと階差数列に持ち込めるよ！

💡 覚え方のコツ：漸化式は「①等比型？ ②特性方程式型？ ③階差利用型？」の順番でチェックしよう！

🔑 数学的帰納法（ドミノ倒しの証明法！）

自然数 $n$ に関する命題 $P(n)$ を証明するための方法だよ。

💡 ドミノ倒しをイメージしよう！「1枚目が倒れる」＋「k枚目が倒れたらk+1枚目も倒れる」→ 全部倒れる！

基底段階： $n = 1$ のとき $P(1)$ が成り立つことを示す（1枚目のドミノを倒す）
帰納段階： $n = k$ のとき $P(k)$ が成り立つと仮定して、 $n = k+1$ のとき $P(k+1)$ が成り立つことを示す（次のドミノが倒れることを示す）

(1)(2) より、すべての自然数 $n$ について $P(n)$ が成り立つ。

⚡ ここが大事！帰納段階では「P(k)が成り立つと仮定」するのがポイント。この仮定を使わないと証明にならないよ！

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2. 統計的な推測

「データからもとの集団の性質を推測する」のが統計だよ！サイコロやアンケートをイメージしてね📝

🔑 確率変数の期待値・分散・標準偏差

期待値は「平均的にどのくらいの値になるか」、分散は「どれくらいバラつくか」を表すよ！

💡 サイコロの出目の期待値 = (1+2+3+4+5+6)×1/6 = 3.5。これが「平均的に出る値」だね！

期待値（平均値のこと）：

E(X) = \sum_{i} x_i \, p_i

分散（バラつきの大きさ）：

V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2

💡 覚え方のコツ：「2乗の期待値 − 期待値の2乗」だよ！順番を間違えないでね

標準偏差（分散の平方根）：

\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

🔑 期待値・分散の性質（線形変換）

Xを a倍して b を足した $aX + b$ の期待値と分散はこうなるよ：

E(aX + b) = aE(X) + b

V(aX + b) = a^2 V(X)

⚡ ここが大事！期待値は a倍して b を足すけど、分散は a² 倍だけ！（bは消える）バラつきに足し算は関係ないんだよ

独立な確率変数 $X, Y$ の和について：

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

V(X + Y) = V(X) + V(Y) \quad (X, Y \text{ が独立})

💡 期待値の和はいつでも成り立つけど、分散の和は「独立」のときだけ！ここ試験で狙われるよ！

🔑 二項分布（成功/失敗の繰り返し）

確率 $p$ の試行を $n$ 回行うとき、成功回数 $X$ は二項分布 $B(n, p)$ に従うよ！

💡 コイン投げが一番わかりやすい！表が出る確率1/2のコインを10回投げて、表がk回出る確率が二項分布だよ

確率の公式：

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

期待値と分散：

E(X) = np, \quad V(X) = np(1-p)

📝 コインを10回投げるなら E(X) = 10×1/2 = 5（平均5回表）、V(X) = 10×1/2×1/2 = 2.5 だよ！

🔑 正規分布（あの有名な釣鐘型のグラフ！）

確率変数 $X$ が正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従うとき、確率密度関数は：

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)

💡 μ（ミュー）が山の中心、σ（シグマ）が山の幅を決めるよ。σが小さいと細くて背が高い山、σが大きいと広くて低い山になるよ！

🔑 標準化（基準をそろえる変換）

$X \sim N(\mu, \sigma^2)$ のとき、次の変換で標準正規分布 $N(0, 1)$ に変えられるよ：

Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)

💡 覚え方のコツ：「平均を引いて、標準偏差で割る」だけ！偏差値の計算と同じ考え方だよ

📝 テストの点数が N(60, 10²) に従うとき、80点の標準化 → Z = (80-60)/10 = 2。正規分布表で確率が読めるね！

🔑 中心極限定理（統計のスゴイ定理！）

母平均 $\mu$ 、母分散 $\sigma^2$ の母集団から大きさ $n$ の標本をとるとき、nが十分大きければ標本平均 $\bar{X}$ は近似的に正規分布に従うよ：

\bar{X} \approx N\!\left(\mu,\; \frac{\sigma^2}{n}\right)

⚡ ここが大事！元の分布がどんな形でも、たくさんデータを取れば平均は正規分布に近づくんだよ！これが統計の基盤！

💡 nが大きくなると分散 σ²/n は小さくなる → 標本平均はμの近くに集まるよ！

🔑 母平均の信頼区間（本当の平均はこの範囲にあるはず！）

母分散 $\sigma^2$ が既知のとき、信頼度 $(1 - \alpha)$ の信頼区間：

\bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

💡 覚え方のコツ：「標本平均 ± z × 標準偏差/√n」だよ！± の幅が信頼区間の広さを決める

よく使う値：信頼度 95% → $z_{0.025} = 1.96$ 、信頼度 99% → $z_{0.005} = 2.576$

📝 標本平均50, σ=10, n=100, 95%信頼区間 → 50 ± 1.96×10/√100 = 50 ± 1.96 → [48.04, 51.96] だよ！

🔑 母比率の信頼区間（本当の割合はどのくらい？）

標本比率 $\hat{p}$ 、標本の大きさ $n$ のとき、母比率 $p$ の信頼区間：

\hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \leq p \leq \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}

💡 覚え方のコツ：母平均の信頼区間とほぼ同じ形！ σ/√n の部分が √(p̂(1-p̂)/n) に変わっただけだよ

📝 400人中240人が賛成(p̂=0.6)、95%信頼区間 → 0.6 ± 1.96×√(0.6×0.4/400) = 0.6 ± 0.048 → [0.552, 0.648]

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