📐 高校数学マスター演習

数学III 公式集

1. 極限

「限りなく近づけたらどうなる？」を調べるのが極限だよ！ nを無限に大きくしたり、xをある値にどんどん近づけたときの振る舞いを見ていこう⚡

📝 数列の極限の基本性質

収束する数列 {an},{bn}\{a_n\}, \{b_n\} があるとき、極限の計算はバラバラにできるよ！ 足し算・引き算・掛け算・割り算、それぞれ個別に極限をとってOKだよ！

lim⁡n→∞(an±bn)=lim⁡n→∞an±lim⁡n→∞bn\lim_{n \to \infty}(a_n \pm b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n \pm \lim_{n \to \infty} b_n
lim⁡n→∞(an⋅bn)=lim⁡n→∞an⋅lim⁡n→∞bn\lim_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n
lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞anlim⁡n→∞bn(lim⁡n→∞bn≠0)\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n}{\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n} \quad \left(\lim_{n \to \infty} b_n \neq 0\right)

💡 たとえば an=2+1na_n = 2 + \tfrac{1}{n} と bn=3−1nb_n = 3 - \tfrac{1}{n} なら、lim⁡(an⋅bn)=2×3=6\lim(a_n \cdot b_n) = 2 \times 3 = 6 になるよ！割り算は分母が0にならないか必ずチェックしてね！

🔑 はさみうちの原理

上と下から同じ値に挟まれたら、真ん中もそこに収束するよ！サンドイッチ定理とも呼ばれるよ！

an≤bn≤cnかつlim⁡n→∞an=lim⁡n→∞cn=α  ⟹  lim⁡n→∞bn=αa_n \leq b_n \leq c_n \quad \text{かつ} \quad \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = \alpha \implies \lim_{n \to \infty} b_n = \alpha

⚡ ここがポイント！ bnb_n の極限が直接求められないときに使うテクニックだよ！上下から挟める式を見つけるのがコツ。たとえば 0≤sin⁡nn≤1n0 \leq \tfrac{\sin n}{n} \leq \tfrac{1}{n} だから lim⁡sin⁡nn=0\lim \tfrac{\sin n}{n} = 0 だね！

📝 無限等比数列の極限

公比 r の大きさで結果がガラッと変わるよ！場合分けをしっかり覚えよう！

lim⁡n→∞rn={0(∣r∣<1)1(r=1)発散(r>1 または r≤−1)\lim_{n \to \infty} r^n = \begin{cases} 0 & (|r| < 1) \\ 1 & (r = 1) \\ \text{発散} & (r > 1 \text{ または } r \leq -1) \end{cases}

💡 ∣r∣<1|r| < 1 なら0に収束、r=1r = 1 ならずっと1、それ以外は発散！たとえば (0.5)n→0(0.5)^n \to 0、2n→∞2^n \to \infty、(−1)n(-1)^n は振動して発散だよ！

📝 無限級数（無限等比級数）

無限に足し続けても有限の値になることがあるよ！無限等比級数 ∑n=1∞arn−1\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} は ∣r∣<1|r| < 1 のとき収束して：

∑n=1∞arn−1=a1−r(∣r∣<1)\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1 - r} \quad (|r| < 1)

級数 ∑an\sum a_n が収束するならば lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0（逆は不成立）

🔑 試験に超出る！ たとえば 1+12+14+18+⋯=11−1/2=21 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \cdots = \tfrac{1}{1 - 1/2} = 2 だよ！「an→0a_n \to 0 だから収束」は間違い（調和級数 ∑1/n\sum 1/n は発散する）。逆は成り立たないことに注意！

⚡ 関数の極限の重要公式

この4つは超頻出！特に最初の2つは絶対覚えてね！

lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e
lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1
lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1

💡 ここがポイント！ 1番目の sin⁡x/x→1\sin x / x \to 1 は微分の証明でも使う超重要公式だよ！2番目は自然対数の底 e の定義そのもの。3番目と4番目は2番目から導けるから、セットで覚えると効率的！

📝 ε-δ 論法（概要）

「lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L」を数学的にカッチリ書くとこうなるよ！

∀ε>0,  ∃δ>0  s.t.  0<∣x−a∣<δ  ⟹  ∣f(x)−L∣<ε\forall \varepsilon > 0, \; \exists \delta > 0 \; \text{s.t.} \; 0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon

💡 日本語で言うと「どんなに小さい誤差 ε を指定されても、x を a に十分近づければ（δ以内にすれば）f(x) は L から ε 以内に収まるよ」ってことだよ！難しそうに見えるけど、要は「近づけたら近づく」を厳密に言ってるだけ！

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2. 微分法

微分は「瞬間の変化率」を求める計算だよ！グラフの接線の傾きを求めるイメージ。ここでは数IIIで新しく登場する関数の微分公式をまとめるよ⚡

📝 べき関数の微分

数IIでは n が整数だったけど、数IIIでは n が実数（分数や負の数もOK）に拡張されるよ！

(xn)′=nxn−1(n は実数)(x^n)' = nx^{n-1} \quad (n \text{ は実数})

💡 たとえば (x)′=(x1/2)′=12x−1/2=12x(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \tfrac{1}{2}x^{-1/2} = \tfrac{1}{2\sqrt{x}} だよ！ルートや分数の指数もこの公式1つでOK！

⚡ 三角関数の微分

sin, cos, tan の微分はセットで覚えよう！cos の微分にマイナスがつくのを忘れがちだよ！

(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x
(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x
(tan⁡x)′=1cos⁡2x=1+tan⁡2x(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x

🔑 試験に超出る！ cos の微分で マイナスをつけ忘れるのが最多ミス！「コサインはマイナスサイン」と語呂で覚えよう！tan の微分は2通りの書き方があるから、問題に合わせて使い分けてね！

⚡ 指数関数・対数関数の微分

e のすごいところ：微分しても自分自身になるよ！底が e じゃない場合は ln がつくだけ！

(ex)′=ex(e^x)' = e^x
(ax)′=axln⁡a(a>0,  a≠1)(a^x)' = a^x \ln a \quad (a > 0, \; a \neq 1)
(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}
(log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}

💡 exe^x は微分しても積分しても exe^x のまま！これが e が特別な理由だよ。底が a のときは ln a がくっつくだけだから、e のパターンを基本形として覚えればOK！

🔑 積の微分・商の微分

2つの関数の掛け算・割り算を微分するルールだよ！

{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}

💡 積の微分は「前を微分×後ろそのまま ＋ 前そのまま×後ろを微分」だよ！商の微分は分子が「引き算」になること、分母が2乗になることに注意。たとえば (x⋅ex)′=1⋅ex+x⋅ex=(1+x)ex(x \cdot e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x だね！

🔑 合成関数の微分（チェーンルール）

「関数の中に関数がある」ときに使う超重要ルール！数IIIの微分で一番使うよ！

{f(g(x))}′=f′(g(x))⋅g′(x)\{f(g(x))\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

y=f(u),  u=g(x)y = f(u), \; u = g(x) のとき dydx=dydu⋅dudx\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}

⚡ 試験に超出る！ たとえば (e3x)′(e^{3x})' なら、外側の eue^u を微分して e3xe^{3x}、内側の 3x3x を微分して 33、掛けて 3e3x3e^{3x} だよ！「外から微分して中の微分を掛ける」と覚えよう！

📝 逆関数の微分

逆関数の微分は、もとの微分の逆数をとるだけだよ！

dxdy=1  dydx  \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\;\dfrac{dy}{dx}\;}

💡 y=exy = e^x の逆関数 x=ln⁡yx = \ln y で試すと、dy/dx=exdy/dx = e^x だから dx/dy=1/ex=1/ydx/dy = 1/e^x = 1/y → つまり (ln⁡y)′=1/y(\ln y)' = 1/y になって、対数の微分公式と一致するね！

🔑 対数微分法

y=f(x)g(x)y = f(x)^{g(x)} みたいな「指数にも x が入ってる」厄介な形はこれで解決！ 両辺の ln をとってから微分するテクニックだよ！

ln⁡y=g(x)ln⁡f(x)\ln y = g(x) \ln f(x)
y′y=g′(x)ln⁡f(x)+g(x)⋅f′(x)f(x)\frac{y'}{y} = g'(x)\ln f(x) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)}

💡 たとえば y=xxy = x^x なら、ln⁡y=xln⁡x\ln y = x \ln x と変形して両辺を微分すると y′/y=ln⁡x+1y'/y = \ln x + 1 → y′=xx(ln⁡x+1)y' = x^x(\ln x + 1) になるよ！手順は「ln とる → 微分する → y を掛け戻す」の3ステップ！

📝 媒介変数表示の微分

x と y がどちらも t の式で表されているとき、dy/dx はこうやって求めるよ！

dydx=  dydt  dxdt=g′(t)f′(t)\frac{dy}{dx} = \frac{\;\dfrac{dy}{dt}\;}{\dfrac{dx}{dt}} = \frac{g'(t)}{f'(t)}

💡 x=cos⁡t,  y=sin⁡tx = \cos t, \; y = \sin t（単位円）の場合、dy/dx=cos⁡t/(−sin⁡t)=−1/tan⁡tdy/dx = \cos t / (-\sin t) = -1/\tan t だよ！分数の形で「y の微分 ÷ x の微分」と覚えてね！

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3. 積分法

積分は微分の逆演算！「面積を求める」イメージで、関数を「足し合わせる」計算だよ。数IIIでは使える道具がグッと増えるよ⚡

📝 基本の不定積分

微分の公式を逆にしただけ！指数を1増やして、その数で割るよ！

∫xn dx=xn+1n+1+C(n≠−1)\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C

🔑 ここがポイント！ n = -1 のときだけ特別で ln になるよ！あと、積分定数 C を書き忘れると減点されるから気をつけてね！たとえば ∫x2 dx=x33+C\int x^2 \, dx = \tfrac{x^3}{3} + C だよ。

⚡ 指数・三角関数の積分

微分の公式の逆をまとめたよ！sin と cos でプラスマイナスが入れ替わるのに注意！

∫ex dx=ex+C\int e^x \, dx = e^x + C
∫ax dx=axln⁡a+C(a>0,  a≠1)\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, \; a \neq 1)
∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \sin x \, dx = -\cos x + C
∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x \, dx = \sin x + C

💡 sin を積分すると マイナス cos になるよ！微分のときと逆で混乱しやすいから、「積分で sin → -cos」「積分で cos → sin」と何度も唱えて覚えよう！

📝 逆三角関数型の積分

この2つは見た目は難しいけど、パターンを覚えれば一発だよ！

∫1x2+1 dx=arctan⁡x+C\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan x + C
∫11−x2 dx=arcsin⁡x+C\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x + C

💡 「分母に x2+1x^2 + 1 → arctan」「分母に 1−x2\sqrt{1 - x^2} → arcsin」とパターンで覚えよう！x2+a2x^2 + a^2 の形が出てきたら aa で割るバージョンもあるよ！

🔑 置換積分法

合成関数の微分（チェーンルール）の逆バージョン！複雑な積分を簡単な形に変身させるよ！

∫f(g(x)) g′(x) dx=∫f(u) du(u=g(x))\int f(g(x))\,g'(x) \, dx = \int f(u) \, du \quad (u = g(x))

定積分の場合は積分区間も置き換えることに注意。

⚡ 試験に超出る！ たとえば ∫2x⋅ex2 dx\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx は u=x2u = x^2 とおくと du=2x dxdu = 2x\,dx だから ∫eu du=ex2+C\int e^u \, du = e^{x^2} + C になるよ！「中身の微分が外にあるか」を探すのがコツ！

🔑 部分積分法

積の微分の逆！「何を微分して何を積分するか」の選び方がカギだよ！

∫f′(x) g(x) dx=f(x) g(x)−∫f(x) g′(x) dx\int f'(x)\,g(x) \, dx = f(x)\,g(x) - \int f(x)\,g'(x) \, dx

💡 「対数→多項式→三角→指数」の順（LIATE）で、左にあるほうを g(x)（微分する側）にすると上手くいくことが多いよ！たとえば ∫xex dx\int x e^x \, dx なら g(x)=x にして xex−∫ex dx=xex−ex+C=(x−1)ex+Cxe^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C だよ！

📝 部分分数分解

分数の式を簡単な分数の和に分解するテクニック！有理関数の積分で大活躍！

1(x−a)(x−b)=1a−b(1x−a−1x−b)(a≠b)\frac{1}{(x - a)(x - b)} = \frac{1}{a - b}\left(\frac{1}{x - a} - \frac{1}{x - b}\right) \quad (a \neq b)
∫1(x−a)(x−b) dx=1a−bln⁡∣x−ax−b∣+C\int \frac{1}{(x-a)(x-b)} \, dx = \frac{1}{a-b} \ln\left|\frac{x-a}{x-b}\right| + C

💡 たとえば ∫1(x−1)(x−2)dx\int \tfrac{1}{(x-1)(x-2)} dx は 11−2ln⁡∣x−1x−2∣+C=−ln⁡∣x−1x−2∣+C\tfrac{1}{1-2}\ln|\tfrac{x-1}{x-2}| + C = -\ln|\tfrac{x-1}{x-2}| + C だよ！分解すれば ln の積分に帰着できるのがミソ！

⚡ 面積

2つの関数に挟まれた部分の面積は、上の関数から下の関数を引いて積分！絶対値を忘れずに！

S=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dxS = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx

🔑 ここがポイント！ 上下が入れ替わる（交差する）ところで区間を分けて、それぞれ絶対値を外して計算するのが定番の解法だよ！交点を求めてから積分区間を決めよう！

⚡ 体積（回転体）

曲線を軸の周りにグルッと回転させてできる立体の体積だよ！

y=f(x)y = f(x) を x 軸のまわりに回転：

V=π∫ab{f(x)}2 dxV = \pi \int_a^b \{f(x)\}^2 \, dx

x=g(y)x = g(y) を y 軸のまわりに回転：

V=π∫cd{g(y)}2 dyV = \pi \int_c^d \{g(y)\}^2 \, dy

💡 「円の面積 = π r²」の r が f(x) になってるイメージだよ！薄い円盤を積み重ねて体積を求める感じ。x 軸回転なら f(x)² に π をかけて積分、y 軸回転なら g(y)² に π をかけて積分！

📝 曲線の長さ

曲線の長さ（弧長）を積分で求める公式だよ！三平方の定理が元になってるよ！

L=∫ab1+(dydx)2 dxL = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx

媒介変数表示 x=f(t),  y=g(t)x = f(t), \; y = g(t) のとき：

L=∫t1t2(dxdt)2+(dydt)2 dtL = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt

💡 微小区間で dx2+dy2\sqrt{dx^2 + dy^2} （三平方の定理！）を足し合わせてるイメージだよ！ルートの中が1 + (dy/dx)² になるのは、dx でくくり出してるから。計算は大変だけど、やってることはシンプル！

📝 広義積分

積分区間が無限だったり、途中で関数が爆発（不連続）する場合は、極限を使って定義するよ！

∫a∞f(x) dx=lim⁡t→∞∫atf(x) dx\int_a^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x) \, dx
∫abf(x) dx=lim⁡ε→+0∫a+εbf(x) dx(x=a で不連続)\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a+\varepsilon}^b f(x) \, dx \quad (x = a \text{ で不連続})

💡 たとえば ∫1∞1x2 dx=lim⁡t→∞[−1x]1t=lim⁡t→∞(−1t+1)=1\int_1^{\infty} \tfrac{1}{x^2} \, dx = \lim_{t \to \infty} [-\tfrac{1}{x}]_1^t = \lim_{t \to \infty}(-\tfrac{1}{t} + 1) = 1 だよ！無限まで積分しても有限の値になるのがおもしろいよね！極限が存在すれば「収束」、しなければ「発散」だよ！

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