高校数学マスター演習

1. 式と証明

式の展開や割り算、不等式の証明に使う公式たちだよ！ここをマスターすると、計算がめちゃくちゃラクになるよ ⚡

📝 二項定理

「カッコの n 乗」を一発で展開できる最強の公式だよ！

(a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_r \, a^{n-r} \, b^r

一般項は ${}_n\mathrm{C}_r \, a^{n-r} \, b^r$ （第 $r+1$ 項）だよ。

💡 たとえば $(1+x)^3$ なら：
${}_3\mathrm{C}_0 \cdot 1^3 + {}_3\mathrm{C}_1 \cdot 1^2 \cdot x + {}_3\mathrm{C}_2 \cdot 1 \cdot x^2 + {}_3\mathrm{C}_3 \cdot x^3$
= $1 + 3x + 3x^2 + x^3$ になるよ！

📝 整式の割り算・剰余の定理・因数定理

この3つはセットで覚えると理解しやすいよ！

🔑 整式の割り算

f(x) = g(x) \cdot Q(x) + R(x)

$f(x)$ を $g(x)$ で割ると、商 $Q(x)$ と余り $R(x)$ が出るよ。余りの次数は割る式より小さい（ $\deg R < \deg g$ ）のがルールだよ！

🔑 剰余の定理

f(x) \text{ を } (x - a) \text{ で割った余りは } f(a)

💡 $f(x) = x^2 + 3x + 5$ を $(x - 1)$ で割った余りは？
→ $f(1) = 1 + 3 + 5 = 9$ だよ！代入するだけでOK！

🔑 因数定理

f(a) = 0 \iff f(x) \text{ は } (x - a) \text{ を因数にもつ}

「余りが0 = 割り切れる = 因数にもつ」ってことだよ。剰余の定理の特別バージョンだね！

📝 不等式の証明に使う公式

🔑 相加相乗平均の不等式

a > 0,\; b > 0 \text{ のとき } \quad \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}

等号成立は $a = b$ のときだよ。

💡 覚え方のコツ：「足して割ったもの（平均）は、掛けてルートしたもの以上」だよ！
例： $a = 3, b = 12$ なら → $\frac{3+12}{2} = 7.5 \geq \sqrt{36} = 6$ ✅

🔑 コーシー・シュワルツの不等式

(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2

等号成立は $ad = bc$ のときだよ。

💡 $a=1, b=2, c=3, d=6$ で確認：
左辺 = $(1+4)(9+36) = 5 \times 45 = 225$ 、右辺 = $(3+12)^2 = 225$
$ad = 6, bc = 6$ で等号成立だね！

2. 複素数と方程式

「2乗して −1 になる数」なんてあるの？って思うよね。でもそれが虚数の世界だよ！方程式を解くのにめちゃくちゃ便利なんだ ⚡

📝 虚数単位と共役複素数

🔑 虚数単位

i^2 = -1

「2乗したら −1 になる」という不思議な数。これが虚数のスタート地点だよ！

🔑 共役複素数

z = a + bi \quad \Rightarrow \quad \bar{z} = a - bi

虚部の符号をひっくり返したのが共役複素数だよ。掛けると実数になるのがポイント！

z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2

💡 $z = 3 + 2i$ なら $\bar{z} = 3 - 2i$ で、
$z \cdot \bar{z} = 9 + 4 = 13$ （実数になった！）

📝 2次方程式の解の公式

ax^2 + bx + c = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

💡 ここがポイント！ルートの中身 $b^2 - 4ac$ が「判別式 $D$ 」だよ。この値で解の種類がわかるんだ！

📝 解と係数の関係（2次方程式）

方程式を解かなくても、2つの解の「和」と「積」がわかる便利な公式だよ！

ax^2 + bx + c = 0 \text{ の2解を } \alpha,\beta \text{ とすると}

\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha \beta = \frac{c}{a}

💡 $x^2 - 5x + 6 = 0$ なら（解は 2 と 3）
和： $\alpha + \beta = -\frac{-5}{1} = 5$ ✅（2+3=5）
積： $\alpha \beta = \frac{6}{1} = 6$ ✅（2×3=6）

📝 判別式と解の種類

D = b^2 - 4ac

$D > 0$ ：異なる2つの実数解 ← ルートの中がプラスだから普通に解ける！
$D = 0$ ：重解（同じ解が2つ） ← ルートの中が0でちょうどピッタリ！
$D < 0$ ：異なる2つの虚数解（共役複素数） ← ルートの中がマイナスで虚数が登場！

📝 3次方程式と因数定理

$f(a) = 0$ となる $a$ を見つけて、 $f(x) = (x - a)(\text{2次式})$ と因数分解するよ。整数の候補は「定数項の約数 ÷ 最高次の係数の約数」で探すんだ！

🔑 覚え方のコツ：まず $x = \pm 1, \pm 2, \pm 3 \ldots$ と小さい数を順番に代入して、 $f(a) = 0$ になるものを探そう！

3. 三角関数

sin・cos・tan の世界が一気に広がるよ！公式は多いけど、加法定理さえ覚えれば残りは全部導けるんだ ⚡

📝 弧度法

\pi \text{ rad} = 180^\circ

角度を「ラジアン」で表す方法だよ。数学IIからはこっちがメインになるよ！

💡 よく使う変換： $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ 、 $60^\circ = \frac{\pi}{3}$ 、 $45^\circ = \frac{\pi}{4}$ 、 $30^\circ = \frac{\pi}{6}$

📝 グラフの特徴

$y = \sin x$ ：周期 $2\pi$ 、振幅 1（波の形🌊）
$y = \cos x$ ：周期 $2\pi$ 、振幅 1（sin を左にずらした形）
$y = \tan x$ ：周期 $\pi$ 、漸近線 $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ （右肩上がりの繰り返し）

⚡ 加法定理 — ここが最重要！

三角関数の公式は、ほぼ全部これから作れるよ。まずはこれを完璧に覚えよう！

\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta

\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}

🔑 覚え方のコツ：「sin は "sin cos cos sin"（サインコスコスサイン）」
「cos は "cos cos sin sin"（コスコスサインサイン）」のリズムで覚えよう！
cos の方は符号が逆（ $\mp$ ）になることに注意だよ！

📝 2倍角の公式

加法定理で $\alpha = \beta$ にすれば出てくるよ！

\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha

\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha

\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}

💡 cos2α は3パターンあるけど、 $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ で変換してるだけだよ。問題に合わせて使いやすい形を選ぼう！

📝 半角の公式

2倍角の cos2α の式を変形するだけで出てくるよ！

\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}

\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}

\tan^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}

📝 三角関数の合成

sin と cos が混ざった式を、1つの sin にまとめる技だよ！

a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\,\sin(\theta + \alpha)

ただし $\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 、 $\sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ だよ。

💡 $\sin\theta + \cos\theta$ なら $a=1, b=1$ だから
$= \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ になるよ！最大値・最小値を求めるとき超便利 ⚡

📝 積和の公式

「掛け算 → 足し算」に変える公式だよ。積分で大活躍するよ！

\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\}

\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\}

\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)\}

📝 和積の公式

「足し算 → 掛け算」に変える公式。積和の逆バージョンだよ！

\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}

\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}

\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}

\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}

🔑 覚え方のコツ：積和・和積は加法定理の足し引きから導けるよ。試験中に忘れたら加法定理から作り直そう！

4. 指数・対数関数

指数は「何回掛ける？」、対数は「何乗したらこの数になる？」を表すよ。セットで覚えると理解しやすいんだ ⚡

📝 指数法則

指数の計算ルールをまとめたよ。全部セットで覚えちゃおう！

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

(a^m)^n = a^{mn}

(ab)^n = a^n b^n

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m

💡 「同じ底の掛け算 → 指数を足す」「累乗の累乗 → 指数を掛ける」がキホンだよ！
例： $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$ 、 $(2^3)^2 = 2^6 = 64$

📝 対数の定義

\log_a b = c \iff a^c = b \quad (a > 0,\; a \neq 1,\; b > 0)

「 $a$ を何乗したら $b$ になる？」→ その答えが $\log_a b$ だよ！

💡 $\log_2 8 = 3$ ← 「2を何乗したら8？」→ 「3乗！」ってこと。
$2^3 = 8$ と同じことを別の書き方にしてるだけだよ！

📝 対数の性質

\log_a 1 = 0, \quad \log_a a = 1

\log_a MN = \log_a M + \log_a N

\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N

\log_a M^n = n \log_a M

🔑 ここがポイント！「掛け算 → 足し算」「割り算 → 引き算」「累乗 → 前に出す」がルールだよ！
例： $\log_2 (4 \times 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5$ ✅（ $2^5 = 32 = 4 \times 8$ ）

📝 底の変換公式

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

底がバラバラなときに、同じ底に統一できる公式だよ！

💡 $\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}$ ← 底を2に揃えるとラクに計算できるよ！

📝 常用対数と桁数

正の整数 $N$ が $n$ 桁のとき：

n - 1 \leq \log_{10} N < n

つまり桁数は $\lfloor \log_{10} N \rfloor + 1$ で求まるよ。

💡 「 $2^{10}$ は何桁？」→ $\log_{10} 2^{10} = 10 \times 0.3010 = 3.010$
→ $3 \leq 3.010 < 4$ だから 4桁！（ $2^{10} = 1024$ で確認 ✅）

5. 微分・積分の基礎

微分は「変化の速さ」、積分は「面積」を求める道具だよ。この2つは逆の関係にあるんだ（これが超大事！）⚡

📝 導関数の定義

「xがちょっとだけ変わったとき、yはどれくらい変わる？」を表す式だよ。

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

💡 グラフで言うと「接線の傾き」のことだよ。hをどんどん0に近づけて、傾きを正確に求めるイメージ！

📝 基本的な微分公式

実際のテストでは定義式ではなく、こっちの公式を使って計算するよ！

(x^n)' = nx^{n-1}

(c)' = 0 \quad (c \text{ は定数})

\{kf(x)\}' = kf'(x)

\{f(x) \pm g(x)\}' = f'(x) \pm g'(x)

💡 「指数を前に出して、指数を1減らす」← これだけ覚えればOK！
例： $(x^3)' = 3x^2$ 、 $(5x^2)' = 10x$ 、 $(7)' = 0$

📝 接線の方程式

y = f'(a)(x - a) + f(a)

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(a,\, f(a))$ における接線だよ。

💡 $y = x^2$ の $x = 3$ での接線は？
$f'(x) = 2x$ だから $f'(3) = 6$ （傾き）、 $f(3) = 9$ （y座標）
→ $y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9$ だよ！

📝 増減表と極値

$f'(x) = 0$ の解を求めて、 $f'(x)$ の符号変化を調べるよ。

$f'(x)$ が正 → 負に変わる点 → 極大（山のてっぺん⛰️）
$f'(x)$ が負 → 正に変わる点 → 極小（谷の底）

🔑 ここがポイント！f'(x) の符号が「プラス → マイナス」なら山、「マイナス → プラス」なら谷だよ！増減表を書く習慣をつけよう！

📝 不定積分

微分の逆の操作だよ。「微分したらこうなる元の式は？」を求めるんだ！

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)

\int kf(x) \, dx = k \int f(x) \, dx

\int \{f(x) \pm g(x)\} \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx

💡 「指数を1増やして、増やした指数で割る」← 微分の逆だね！
例： $\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C$ 、 $\int 6x \, dx = 3x^2 + C$
⚡ $+ C$ （積分定数）を忘れると減点されるから注意！

📝 定積分と面積

不定積分に「ここからここまで」の範囲をつけたのが定積分だよ。面積が求められるんだ！

\int_a^b f(x) \, dx = \bigl[ F(x) \bigr]_a^b = F(b) - F(a)

💡 $\int_1^3 x^2 \, dx = \bigl[\frac{x^3}{3}\bigr]_1^3 = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$

2曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ で囲まれた面積：

S = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx

🔑 1/6 公式（放物線と直線で囲まれた面積）

S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3

ただし $\alpha,\beta$ は $f(x) - g(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)$ の解だよ。

⚡ 1/6公式はめちゃくちゃ速く面積が出せるから、放物線と直線の問題では積極的に使おう！定積分を真面目に計算するより何倍も速いよ！

数学II 公式集