数学A 公式集

場合の数と確率・図形の性質・整数の性質の公式を、わかりやすくまとめたよ！具体例つきだから、イメージしながら覚えよう！

1. 場合の数と確率

和の法則・積の法則

「AかBのどっちか」なら足し算、「Aのあとに続けてB」ならかけ算だよ！同時に起きないこと（排反）がポイント。

n(A \cup B) = n(A) + n(B) \quad (\text{排反のとき})

⚡ 例：サイコロで「1が出る」or「6が出る」→ 1 + 1 = 2通り

n(A \text{ かつ } B) = n(A) \times n(B)

⚡ 例：サイコロ2個を振る → 6 × 6 = 36通り

💡 覚え方のコツ：「または → 足す」「続けて → かける」と覚えよう！

順列（P）

n個のものからr個を選んで並べるときの数だよ！「並び順が違えば別物」として数えるのがポイント。

{}_n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}

⚡ 例：5人から3人を選んで一列に並べる → ₅P₃ = 5 × 4 × 3 = 60通り

🔑 順列は「順番が大事」なとき！委員長・副委員長を決めるような場面で使うよ。

組合せ（C）

n個のものからr個を選ぶだけ（並べない）のときの数だよ！順番は関係なし。

{}_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}

⚡ 例：5人から2人選ぶ → ₅C₂ = 10通り

{}_n C_r = {}_n C_{n-r}

⚡ 「5人から2人選ぶ」＝「5人から3人残す」→ ₅C₂ = ₅C₃

💡 覚え方のコツ：順列Pを「並べ方の重複（r!）」で割ったのが組合せCだよ！

円順列

円形のテーブルに座るみたいに、回転して同じになるものは1通りと数えるよ！ 1人を固定して残りを並べると考えよう。

(n-1)!

⚡ 例：4人で円形に座る → (4-1)! = 3! = 6通り

重複順列

同じものを何回でも使ってOKで並べるときの数だよ！パスワードみたいに同じ数字を繰り返し使えるイメージ。

n^r

⚡ 例：0〜9の10種類で4桁の暗証番号 → 10⁴ = 10000通り

確率の基本

確率は「起きてほしいこと ÷ 全部」で求めるよ！結果がどれも同じくらい起きやすい（同様に確からしい）ときに使えるんだ。

P(A) = \frac{n(A)}{n(U)}

⚡ 例：サイコロで偶数が出る確率 → 3/6 = 1/2

余事象の確率

「少なくとも1つ〜」という問題は、直接数えると大変！そんなとき「全体（=1）から、起きない確率を引く」のが楽だよ。

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

⚡ 例：サイコロ3回振って少なくとも1回は1が出る確率 → 1 - (5/6)³ = 91/216

🔑 「少なくとも」が出たら余事象！これはテストで超頻出だよ！

確率の加法定理

「AまたはB」の確率を求めるとき、AとBが重なる部分を引かないとダブルカウントしちゃうよ！

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

⚡ 例：トランプ52枚から「ハートまたは絵札」→ P(ハート) + P(絵札) - P(ハートの絵札) = 13/52 + 12/52 - 3/52 = 22/52

💡 排反（重なりなし）のときは引く部分が0になるから、単純に足すだけでOKだよ！

条件付き確率

「Aが起きた」という情報がわかったうえで、Bが起きる確率だよ！全体をAの中だけに絞って考えるイメージ。

P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

⚡ 例：サイコロで偶数(A)が出たとき、それが4以上(B)の確率 → P(4,6) / P(2,4,6) = (2/6) / (3/6) = 2/3

確率の乗法定理

「AもBも両方起きる」確率を求める公式だよ！条件付き確率を変形しただけ。

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)

独立な事象

AとBがお互いに影響しないとき、「独立」っていうよ！このときは単純にかけ算するだけでOK。

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

⚡ 例：コイン表(1/2) × サイコロ1(1/6) = 1/12

📝 独立かどうかの判定：P(A∩B) = P(A)·P(B) が成り立てば独立だよ！

期待値（平均値）

「何回もやったら、平均するとどれくらいになる？」を表す値だよ！各結果 × その確率を全部足せばOK。

E(X) = \sum_{i} x_i \, p_i

⚡ 例：サイコロの期待値 → 1×(1/6) + 2×(1/6) + ... + 6×(1/6) = 3.5

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2. 図形の性質

三角形の五心

三角形には5つの大事な「中心」があるよ！それぞれの作り方と特徴を押さえよう。

重心：3本の中線（頂点→対辺の中点）の交点。各中線を2:1に内分するよ！

外心：3辺の垂直二等分線の交点。外接円の中心で、3頂点から等距離！

内心：3つの内角の二等分線の交点。内接円の中心で、3辺から等距離！

垂心：各頂点から対辺に下ろした3本の垂線の交点。

傍心：1つの内角と他の2つの外角の二等分線の交点。傍接円の中心。

💡 覚え方のコツ：「重心＝中線」「外心＝垂直二等分線」「内心＝角の二等分線」とセットで覚えよう！

重心の座標

3つの頂点の座標がわかれば、x座標もy座標も平均するだけで重心が出るよ！

G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)

⚡ 例：頂点が(0,0), (6,0), (3,6)のとき → G = (3, 2)

角の二等分線の性質

頂角Aの二等分線が対辺BCと交わる点Dは、辺BCを隣り合う2辺の比で分けるよ！

BD : DC = AB : AC

⚡ 例：AB=6, AC=4のとき → BD:DC = 6:4 = 3:2

メネラウスの定理

三角形の辺（または延長）上の3点D, E, Fが一直線上にあるときに使える定理だよ！辺の比がわかっているときに、未知の比を求められるんだ。

\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1

🔑 覚え方のコツ：三角形の頂点をB→D→C→E→A→F→Bとぐるっと一周するイメージで分数を作ろう！

チェバの定理

三角形ABCの辺上の3点D, E, Fについて、直線AD, BE, CFが1点で交わるときに成り立つよ！メネラウスと式は同じだけど、使う場面が違うんだ。

\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1

📝 メネラウス → 「3点が一直線」、チェバ → 「3直線が1点で交わる」。状況で使い分けよう！

円周角の定理

同じ弧を見ている円周角は全部同じ大きさ！しかも中心角のちょうど半分になるよ。

\text{中心角} = 2 \times \text{円周角}

⚡ 例：中心角が80°の弧に対する円周角 → 80° ÷ 2 = 40°

接線と弦の作る角

円の接線と弦が作る角度は、その弦の反対側の円周角と等しいよ！接弦定理とも呼ばれるんだ。

\angle TAB = \angle ACB \quad (\text{T は接点})

方べきの定理

円の中や外の点から2本の線を引いたとき、かけ算が等しくなるという定理だよ！線分の長さを求めるときに大活躍するんだ。

🔑 2本の弦（または割線）のとき：

PA \cdot PB = PC \cdot PD

🔑 片方が接線のとき：

PA \cdot PB = PT^2

⚡ 例：PA=3, PB=8, PC=4のとき → PD = 3×8÷4 = 6

内接円の半径

三角形の面積Sと3辺の長さがわかれば、内接円の半径rが求まるよ！

r = \frac{S}{s} \quad \left( s = \frac{a+b+c}{2} \right)

⚡ 例：3辺が3,4,5の直角三角形 → S=6, s=6 → r = 6/6 = 1

💡 s は「半周長」（3辺の合計の半分）だよ。ヘロンの公式でも使う大事な値！

トレミーの定理

円に内接する四角形ABCDで、対角線のかけ算＝対辺どうしのかけ算の和になるよ！

AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC

📝 この定理が使えるのは「円に内接する四角形」限定！内接しない四角形では成り立たないから注意しよう。

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3. 整数の性質

素因数分解

どんな自然数も素数のかけ算で表せるよ！これが整数問題のスタート地点だ。

N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \cdots \cdot p_k^{a_k}

⚡ 例：360 = 2³ × 3² × 5¹

約数の個数

素因数分解したら、各指数に1を足してかけ算するだけで約数の個数がわかるよ！

(a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_k + 1)

⚡ 例：360 = 2³ × 3² × 5¹ → 約数の個数 = (3+1)(2+1)(1+1) = 24個

💡 なぜこうなる？各素因数を「0個〜a個使う」の選び方を数えてるんだよ！

約数の総和

約数を全部足した合計も、素因数分解から一発で出せるよ！

\sigma(N) = \frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1} \cdot \frac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1} \cdots \frac{p_k^{a_k+1}-1}{p_k-1}

⚡ 例：12 = 2² × 3¹ → σ(12) = (2³-1)/(2-1) × (3²-1)/(3-1) = 7 × 4 = 28

最大公約数と最小公倍数の関係

2つの数のかけ算は、最大公約数（GCD）× 最小公倍数（LCM）に等しいよ！

a \times b = \gcd(a, b) \times \text{lcm}(a, b)

⚡ 例：12 × 18 = 216、gcd(12,18)=6、lcm(12,18)=36 → 6 × 36 = 216 ✓

ユークリッドの互除法

最大公約数を超高速で求められるテクニックだよ！「大きい方を小さい方で割って、余りで置き換える」を繰り返すだけ。

\gcd(a, b) = \gcd(b, r) \quad (r = a \bmod b)

⚡ 例：gcd(187, 51) → gcd(51, 34) → gcd(34, 17) → gcd(17, 0) = 17

🔑 余りが0になったとき、そのときの割る数が最大公約数だよ！

一次不定方程式

$ax + by = c$ の整数解を求める問題だよ！まずgcd(a,b)がcの約数じゃないと解なし。特殊解を1つ見つけたら、一般解が書けるんだ。

特殊解 $(x_0, y_0)$ が見つかったら：

x = x_0 + \frac{b}{\gcd(a,b)} \cdot t, \quad y = y_0 - \frac{a}{\gcd(a,b)} \cdot t \quad (t \in \mathbb{Z})

⚡ 特殊解の見つけ方：ユークリッドの互除法を逆にたどる（逆算する）と見つかるよ！

合同式（mod）

「割った余りが同じ」ことを表す記号だよ！余りだけに注目して計算できるから、大きな数の問題で威力を発揮するんだ。

a \equiv b \pmod{m}

⚡ 例：17 ≡ 5 (mod 3)　←どっちも3で割ると余り2

基本性質（足し算・かけ算・累乗がそのままできる！）：

a \equiv b, \; c \equiv d \pmod{m} \;\Rightarrow\; a + c \equiv b + d \pmod{m}

a \equiv b, \; c \equiv d \pmod{m} \;\Rightarrow\; ac \equiv bd \pmod{m}

a \equiv b \pmod{m} \;\Rightarrow\; a^n \equiv b^n \pmod{m}

💡 「2⁰¹⁰⁰を7で割った余りは？」みたいな問題は、modを使うと簡単に解けるよ！

n進法

普段使っている10進法以外の数の表し方だよ！各ケタにnの累乗の重みをかけて足すと10進法に変換できるんだ。

a_k \cdot n^k + a_{k-1} \cdot n^{k-1} + \cdots + a_1 \cdot n + a_0

⚡ 例：2進法の(1011)₂ → 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8+0+2+1 = 11

🔑 10進法→n進法は「nで割り続けて余りを逆順に並べる」！これもよく出るから練習しよう。

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