高校数学マスター演習

1. 数と式

展開公式

カッコを外して式を広げる計算のこと。この6つのパターンを覚えればほとんどの問題が解けるよ！

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

📝 具体例: $(x+3)^2$ なら $a=x, b=3$ を代入 → $x^2 + 6x + 9$

💡 ここがポイント！ 上2つは「2乗の展開」、3つ目は「和と差の積」。テストで一番出るのはこの3つだよ！

因数分解

展開の逆バージョン！式をカッコの積の形に戻す計算だよ。「どの公式パターンに当てはまるかな？」と考えるのがコツ！

a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2

a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2

a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)

acx^2 + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d)

📝 具体例: $x^2 + 5x + 6$ → 足して5、かけて6になる数は2と3 → $(x+2)(x+3)$

🔑 見分けるコツ: まず共通因数をくくり出す → 残りが公式パターンに当てはまるか確認しよう！

平方根の性質

ルート（√）の計算ルールだよ。 $a \geq 0,\; b > 0$ のとき、こんな性質があるんだ！

\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

(\sqrt{a})^2 = a, \quad \sqrt{a^2} = |a|

📝 具体例: $\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$ ← ルートの中をかけてからルートを外すとラク！

分母の有理化

分母にルートがあると見づらいよね？分母からルートを消す技が「有理化」だよ！

\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}

\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}

📝 具体例: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ → 分母・分子に $\sqrt{3}$ をかけて → $\frac{\sqrt{3}}{3}$

⚡ 使いどき: 2つ目の公式は分母が $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ の形のとき。「和と差の積」を使って分母のルートを消すんだよ！

絶対値

数直線上で原点（0）からの距離のこと。マイナスも含めて「0からどれだけ離れてるか」を表すよ！

|x| = \begin{cases} x & (x \geq 0) \\ -x & (x < 0) \end{cases}

|a| \geq 0, \quad |ab| = |a| \cdot |b|

📝 具体例: $|{-5}| = 5$ 、 $|3| = 3$ ← どっちもプラスになるよ！

不等式の性質

不等式を解くときの大事なルール！方程式とほぼ同じだけど、1つだけ注意点があるよ。

a < b,\; c < 0 \;\Longrightarrow\; ac > bc

🔑 超重要！ 両辺にマイナスをかける（または割る）と不等号の向きがひっくり返る！これを忘れるとミスするから気をつけよう！

📝 具体例: $-2x > 6$ → 両辺を $-2$ で割ると → $x < -3$ （不等号が逆転！）

2. 二次関数

標準形（頂点形）

グラフの頂点と形がひと目でわかる便利な式の形だよ！

y = a(x-p)^2 + q

頂点 $(p,\,q)$ 、軸 $x = p$

$a > 0$ のとき下に凸（U字）、 $a < 0$ のとき上に凸（∩字）

📝 具体例: $y = 2(x-3)^2 + 1$ → 頂点は $(3, 1)$ 、軸は $x=3$ 、下に凸のグラフだよ！

一般形と平方完成

一般形から標準形に変形するテクニックが「平方完成」！頂点を求めたいときに使おう！

y = ax^2 + bx + c \quad \text{（一般形）}

= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} \quad \text{（標準形に変形）}

頂点: $\left(-\frac{b}{2a},\; -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)$

📝 具体例: $y = x^2 + 4x + 1$ → $y = (x+2)^2 - 4 + 1 = (x+2)^2 - 3$ → 頂点 $(-2, -3)$

💡 ここがポイント！ 平方完成は「xの係数の半分を2乗して足して引く」だけ！慣れればすぐできるようになるよ！

二次方程式の解の公式

$ax^2 + bx + c = 0$ $(a \neq 0)$ の解を一発で求められる最強の公式！因数分解できないときに大活躍するよ！

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

📝 具体例: $x^2 + 3x + 1 = 0$ → $a=1, b=3, c=1$ を代入 → $x = \frac{-3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

判別式

解の公式のルートの中身だけ取り出したもの。これを見るだけで「解が何個あるか」がわかるよ！

D = b^2 - 4ac

$D > 0$ : 異なる2つの実数解（グラフがx軸と2点で交わる）
$D = 0$ : 重解（グラフがx軸と1点で接する）
$D < 0$ : 実数解なし（グラフがx軸と交わらない）

⚡ 使いどき: 「実数解の個数を求めよ」「共有点の個数を求めよ」と聞かれたら判別式の出番！

二次不等式の解法

まず $ax^2+bx+c=0$ を解いて、グラフの形から答えを読み取ろう！ $a > 0$ で解が $\alpha,\,\beta\;(\alpha < \beta)$ のとき:

ax^2+bx+c > 0 \;\Longleftrightarrow\; x < \alpha \;\text{ または }\; x > \beta

ax^2+bx+c < 0 \;\Longleftrightarrow\; \alpha < x < \beta

📝 具体例: $x^2 - 5x + 6 < 0$ → $(x-2)(x-3) < 0$ → $2 < x < 3$

💡 ここがポイント！ 下に凸（U字）のグラフをイメージしよう。「> 0（正）」はグラフがx軸より上の部分、「< 0（負）」はx軸より下の部分だよ！

3. 三角比

三角比の定義（直角三角形）

直角三角形の辺の比で sin, cos, tan を定義するよ！「サイン=たい/しゃ、コサイン=りん/しゃ、タンジェント=たい/りん」で覚えよう！

\sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}

🔑 覚え方: 「筆記体のsの順に割る」や「サ(sin)・タ(対辺)・シャ(斜辺)」など、自分なりの語呂を作ると忘れにくいよ！

特殊角の三角比

この表は丸暗記しよう！テストでめちゃくちゃ使うよ！

$\theta$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$120°$	$135°$	$150°$
$\sin\theta$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
$\cos\theta$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$-\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan\theta$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\text{なし}$	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

💡 ここがポイント！ 30°, 45°, 60° の3つさえ覚えれば、120°〜150° は符号を変えるだけ！ 90°超えると cos と tan がマイナスになるよ。

三角比の相互関係

sin, cos, tan はバラバラじゃなくて、実はお互いに関係してるんだ。1つがわかれば他も求められるよ！

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}

📝 具体例: $\sin\theta = \frac{3}{5}$ のとき → $\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ → $\cos\theta = \frac{4}{5}$

⚡ 一番大事！ 1つ目の式「 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 」はとにかく超頻出！絶対に覚えよう！

正弦定理

三角形の「辺の長さ」と「向かいの角の sin」の比が全部等しい、という定理。外接円の半径 $R$ も求められるよ！

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

⚡ 使いどき: 「角度と向かいの辺」のセットがわかっているとき、または外接円の半径を求めたいときに使おう！

余弦定理

三平方の定理（ピタゴラス）の拡張版！直角三角形じゃなくても辺の長さや角度が求められるよ！

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

b^2 = c^2 + a^2 - 2ca\cos B

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

変形すると角度も求められる:

\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

📝 具体例: $b=5, c=7, A=60°$ のとき → $a^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = 39$ → $a = \sqrt{39}$

⚡ 使いどき: 「2辺と間の角」がわかっているとき（辺を求める）、または「3辺」がわかっているとき（角度を求める）に使おう！

三角形の面積

2辺とその間の角がわかれば面積が求められる公式だよ。底辺×高さ÷2 の進化版！

S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B

📝 具体例: $a=4, b=6, C=30°$ のとき → $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin 30° = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 6$

4. データの分析

代表値（平均値・中央値・最頻値）

たくさんのデータを「1つの数」でまとめて特徴を表す値のことだよ。それぞれ違う視点でデータを見てるんだ！

\text{平均値: } \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}

平均値: 全部足して個数で割る。一番よく使う代表値！
中央値（メジアン）: データを小さい順に並べたとき、真ん中の値。偶数個のときは中央2つの平均をとるよ。
最頻値（モード）: 一番多く出てくる値。

📝 具体例: データ {3, 5, 5, 7, 10} → 平均値 = (3+5+5+7+10)÷5 = 6、中央値 = 5、最頻値 = 5

💡 ここがポイント！ 平均値は極端な値（外れ値）に影響されやすい。中央値はそういう影響を受けにくいから、状況に応じて使い分けよう！

分散と標準偏差

データのバラつき具合を数値で表すもの。分散が大きい＝データがバラバラ、小さい＝データがまとまってるってことだよ！

s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \quad \text{（分散）}

s = \sqrt{s^2} \quad \text{（標準偏差）}

計算しやすい展開形もあるよ:

s^2 = \overline{x^2} - (\bar{x})^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\right)^2

📝 具体例: データ {2, 4, 6} → 平均 = 4 → 分散 = {(2-4)² + (4-4)² + (6-4)²} ÷ 3 = (4+0+4)÷3 = 8/3

🔑 覚えるコツ: 分散 =「（各データ − 平均）²の平均」。標準偏差は分散にルートをかけたもの。標準偏差の方が元のデータと単位が同じだから直感的にわかりやすいよ！

⚡ 計算のコツ: 展開形「 $\overline{x^2} - (\bar{x})^2$ 」（= 2乗の平均 − 平均の2乗）を使うと計算がラクになることが多いよ！

共分散と相関係数

2種類のデータ（例: 身長と体重）に関係があるかどうかを調べる指標だよ！

s_{xy} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \overline{xy} - \bar{x}\cdot\bar{y} \quad \text{（共分散）}

r = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y} \quad \text{（相関係数）}

$-1 \leq r \leq 1$ （必ずこの範囲に収まる！）
$r > 0$ : 正の相関 → 一方が増えるともう一方も増える傾向
$r < 0$ : 負の相関 → 一方が増えるともう一方は減る傾向
$r \approx 0$ : ほとんど相関なし → 2つのデータに関係がない

💡 ここがポイント！ $r = 1$ は完全な正の相関（散布図が右上がりの直線）、 $r = -1$ は完全な負の相関（右下がりの直線）。 $|r|$ が 1 に近いほど強い相関があるよ！

⚡ 注意！ 相関係数が高くても「因果関係がある」とは限らないよ。「アイスの売上と水難事故」は相関はあるけど、原因は気温。これを「疑似相関」というんだ！

数学I 公式集