高校数学マスター演習

1. 複素数平面

複素数を平面上の点として扱う単元だよ！横軸が実部、縦軸が虚部で、数を「位置」として見るのがコツ。イメージで覚えよう！

📝 複素数の絶対値

複素数 $z = a + bi$ の絶対値は、原点（0, 0）からその点までの距離のことだよ！ピタゴラスの定理そのままだね。

|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}

💡 たとえば $z = 3 + 4i$ なら $|z| = \sqrt{9 + 16} = 5$ 。3:4:5 の直角三角形だね！

📝 極形式

複素数を「原点からの距離 $r$ 」と「角度 $\theta$ 」で表す方法だよ。掛け算・割り算がめちゃくちゃラクになるのがメリット！

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

💡 $r = |z|$ （絶対値）、 $\theta = \arg(z)$ （偏角）だよ。「どれだけ遠いか」と「どの方向か」のセットで表すイメージ！

⚡ 積と商の極形式

ここがポイント！掛け算は「距離をかけて、角度を足す」。割り算は「距離を割って、角度を引く」。これだけ覚えればOKだよ！

z_1 z_2 = r_1 r_2 \bigl\{\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\bigr\}

\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \bigl\{\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)\bigr\}

🔑 たとえば絶対値2で角度30°の複素数と、絶対値3で角度60°の複素数をかけると → 絶対値6、角度90°になるよ！

⚡ ド・モアブルの定理

極形式を n 乗するとき、角度も n 倍になるという超便利な定理だよ！

(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta

💡 たとえば $(\cos 30° + i\sin 30°)^3 = \cos 90° + i\sin 90° = i$ だよ。n乗根を求めるときにも大活躍！

📝 n乗根

$z^n = w$ を満たす z は全部で n 個あるよ。 $w = R(\cos\phi + i\sin\phi)$ としたとき：

z = \sqrt[n]{R}\left(\cos\frac{\phi + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\phi + 2k\pi}{n}\right) \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)

🔑 n個の解は複素数平面上で正 n 角形の頂点に並ぶよ！たとえば $z^3 = 1$ の解は正三角形の頂点の位置にくるんだ。

⚡ 回転

点 $z$ を原点中心に角度 $\alpha$ だけ回すには、 $(\cos\alpha + i\sin\alpha)$ をかけるだけ！

w = z(\cos\alpha + i\sin\alpha)

💡 「複素数をかける＝回転＋拡大」と覚えよう！絶対値1の複素数をかければ純粋な回転になるよ。

📝 複素数平面上の図形

円や垂直二等分線も複素数で書けるよ！

|z - \alpha| = r \quad \text{（中心 } \alpha\text{, 半径 } r \text{ の円）}

|z - \alpha| = |z - \beta| \quad \text{（線分 } \alpha\beta \text{ の垂直二等分線）}

💡 $|z - \alpha| = r$ は「z から $\alpha$ までの距離が r」という意味。xy座標の円の方程式 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ と同じことだよ！

2. 式と曲線

楕円・双曲線・放物線といった二次曲線を方程式で表す単元だよ！それぞれの形の特徴をイメージで覚えよう！

📝 楕円

つぶれた円のことだよ！横方向の半径が $a$ 、縦方向の半径が $b$ （ $a > b > 0$ ）。

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

c^2 = a^2 - b^2

💡 焦点は $(\pm c, 0)$ にあるよ。楕円上のどの点からも「2つの焦点までの距離の合計」が一定（= $2a$ ）なのが楕円の定義！画びょう2本と糸で楕円が描けるのはこれが理由だよ。

📝 双曲線

2つの曲線が左右に開いた形だよ。楕円の式の「+」が「-」に変わるだけ！

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

c^2 = a^2 + b^2

\text{漸近線: } y = \pm\frac{b}{a}x

🔑 ここがポイント！楕円は $c^2 = a^2 - b^2$ （引き算）だけど、双曲線は $c^2 = a^2 + b^2$ （足し算）だよ。セットで覚えよう！漸近線は曲線がどんどん近づいていく直線のことだよ。

📝 放物線

おなじみの放物線！焦点 $(p, 0)$ と準線 $x = -p$ から等距離にある点の集まりだよ。

y^2 = 4px

💡 $p > 0$ なら右向き、 $p < 0$ なら左向きに開くよ。パラボラアンテナの形はまさにこれ！焦点に電波が集まる性質を利用してるんだ。

⚡ 二次曲線の接線公式

曲線上の点 $(x_0, y_0)$ での接線は、元の式の $x^2$ を $x_0 x$ に、 $y^2$ を $y_0 y$ に置き換えるだけ！

\text{楕円: } \frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1

\text{双曲線: } \frac{x_0 x}{a^2} - \frac{y_0 y}{b^2} = 1

\text{放物線: } y_0 y = 2p(x + x_0)

🔑 ここがポイント！この置き換えルールは「接線の公式」として丸暗記しちゃおう。微分しなくても接線が出せるからめっちゃ便利だよ！

📝 媒介変数表示

x と y を別々にパラメータ t の式で表す方法だよ。積分で面積を求めるときに大活躍！

ext{楕円: } egin{cases} x = acos t \ y = bsin t end{cases}

ext{双曲線: } egin{cases} x = acosh t \ y = bsinh t end{cases} quad ext{または} quad egin{cases} x = dfrac{a}{cos t} \ y = b an t end{cases}

ext{サイクロイド: } egin{cases} x = a(t - sin t) \ y = a(1 - cos t) end{cases}

💡 楕円の媒介変数表示は、円の $(\cos t, \sin t)$ を横に a 倍、縦に b 倍に引き伸ばしたイメージだよ！サイクロイドは円を転がしたときに円周上の点が描く軌跡だよ。

📝 極座標

普通の xy 座標（直交座標）の代わりに、「原点からの距離 $r$ 」と「角度 $\theta$ 」で点の位置を表すよ！

x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta

r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \tan\theta = \frac{y}{x}

💡 直交座標 → 極座標、極座標 → 直交座標の変換はよく出るよ。上の2つの式をセットで覚えよう！

⚡ 極方程式の面積

極座標で表された曲線の面積は、おうぎ形の面積を足し合わせるイメージだよ！

S = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2 \, d\theta

🔑 微小なおうぎ形の面積 $\frac{1}{2}r^2 d\theta$ を積分で全部足すイメージ！ $\frac{1}{2}$ を忘れがちだから注意だよ。

📝 離心率

二次曲線の「形」を1つの数値で分類できるのが離心率 $e$ だよ！

e = \frac{c}{a}

$0 < e < 1$ ：楕円、 $e = 1$ ：放物線、 $e > 1$ ：双曲線

💡 e が 0 に近いほど円に近い楕円、e = 1 でちょうど放物線、e が1を超えると双曲線になるよ。e の値で曲線の「開き具合」がわかるんだ！

3. ベクトル

数学Cのベクトルは空間（3次元）が中心だよ！平面ベクトルの考え方がそのまま使えるから、怖がらなくて大丈夫！

📝 成分表示と大きさ

空間ベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ の大きさ（長さ）はピタゴラスの定理の3D版だよ！

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

💡 たとえば $\vec{a} = (1, 2, 2)$ なら $|\vec{a}| = \sqrt{1+4+4} = 3$ だよ。平面のときは成分が2つだったのが3つに増えただけ！

⚡ 内積

2つのベクトルの「仲の良さ」を数値で表すのが内積だよ。計算方法は2通りある！

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

🔑 ここがポイント！角度を使う定義式と、成分をかけて足す計算式の2つは同じ値になるよ。角度を求めたいときは両方を等号で結んで $\cos\theta$ を出すのが定番パターン！

🔑 直交条件

2つのベクトルが垂直（直角）かどうかは内積で一発でわかるよ！

\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

💡 $\cos 90° = 0$ だから内積が0になるんだね。「垂直を示せ」と言われたら内積を計算して0になることを示せばOK！

⚡ 外積（3次元）

2つのベクトルの両方に垂直なベクトルを求める演算だよ。内積と違って結果はベクトル（向きと大きさを持つ）になるのがポイント！

ec{a} imes ec{b} = egin{vmatrix} ec{e_1} & ec{e_2} & ec{e_3} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix}

\vec{a} \times \vec{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1)

|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta

🔑 外積の大きさ $|\vec{a} \times \vec{b}|$ は、2つのベクトルが作る平行四辺形の面積に等しいよ！三角形の面積はその半分。法線ベクトルを求めるときにも使えるよ。

📝 位置ベクトル（内分・外分・重心）

2点 $A(\vec{a})$ , $B(\vec{b})$ を結ぶ線分上の点を求める公式だよ！

\text{内分点（} m:n \text{）: } \vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}

\text{外分点（} m:n \text{）: } \vec{p} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m - n}

\text{重心: } \vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}

💡 内分の公式は「相手の比率を自分にかける」と覚えよう！m:n で内分なら、A には n を、B には m をかけるよ。重心は3点の平均だね。

📝 直線のベクトル方程式

点 $A(\vec{a})$ を通って方向ベクトル $\vec{d}$ に平行な直線は、t を動かすと直線上の全ての点が得られるよ！

\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d} \quad (t \text{ は実数})

💡 「出発点 + t × 進む方向」というイメージだよ。t = 0 のとき点 A にいて、t を変えると直線上を移動するんだ！

📝 平面の方程式

法線ベクトル $\vec{n} = (a, b, c)$ に垂直な平面の方程式だよ。

ax + by + cz = d

🔑 x, y, z の係数がそのまま法線ベクトルの成分になってるよ！たとえば $2x + 3y + z = 5$ なら法線ベクトルは $(2, 3, 1)$ だよ。

⚡ 点と平面の距離

点 $(x_0, y_0, z_0)$ から平面 $ax + by + cz = d$ までの最短距離だよ。数学IIの「点と直線の距離」の3D版！

D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

💡 分子に点の座標を代入して絶対値、分母は法線ベクトルの大きさ。2Dの公式 $\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ と形がそっくりだから、覚えやすいよ！

数学C 公式集