高校数学マスター演習

1. ベクトルの定義と成分表示

ベクトルは「向き」と「大きさ」を持つ量のこと。矢印で表すよ。
成分表示では、横方向と縦方向に分けて書く。

🔑 基本公式

成分表示:

\vec{a} = (a_1,\; a_2)

足し算・スカラー倍:

\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1,\; a_2 + b_2)

k\vec{a} = (ka_1,\; ka_2)

大きさ:

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

2つのベクトルの「相性」みたいなもの。同じ向きなら大きく、直角なら0になるよ。

🔑 内積の公式

成分で計算:

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

角度で表すと:

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

🔑 直交条件

\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

内積が0なら「2つのベクトルは垂直」！

原点 O から各点への矢印を「位置ベクトル」と呼ぶ。点の位置をベクトルで表せるから便利！

🔑 よく使う公式

2点間のベクトル:

\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}

中点:

\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}

m:n に内分する点:

\frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}

直線や円をベクトルで表す方法。パラメータ t を使って点の位置を表すよ。

🔑 直線のベクトル方程式

点 a を通り、方向ベクトル d に平行な直線:

\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d} \quad (t \text{ は実数})

🔑 単位ベクトル

大きさが1のベクトル。方向だけを表したいときに使う:

\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}

💡 コツ: ベクトル方程式は「スタート地点 + t × 進む向き」って読めばOK！
t を変えると直線上の好きな点に移動できるイメージだよ。

Q1.ベクトル a = (3, 4) の大きさ |a| を求めよ。

Q2.a = (1, 2), b = (3, -1) のとき、a + b を求めよ。

Q3.a = (2, 5) のとき、3a を求めよ。

Q4.a = (1, 3), b = (2, -1) のとき、内積 a・b を求めよ。

Q5.a = (1, 0), b = (0, 1) のなす角を求めよ。

Q6.2点 A(1, 3), B(4, 7) に対して、ベクトル AB を求めよ。

Q7.A(2, 1), B(6, 5) の中点 M の位置ベクトルを求めよ。

Q8.a = (3, 4) と平行な単位ベクトルを求めよ。

Q9.a = (2, 1), b = (1, 3) のとき、|a - b| を求めよ。

Q10.点 A(1, 2) を位置ベクトル a、点 B(5, 6) を位置ベクトル b とするとき、線分 AB を 1:3 に内分する点の位置ベクトルを求めよ。