高校数学マスター演習

1. 放物線

放物線は「焦点」と「準線」から等距離にある点の軌跡だよ。
数学IIで出てきた y = ax² とは少し違う表し方をするから注意！

🔑 放物線の標準形

y^2 = 4px

\text{焦点 } (p,\,0), \quad \text{準線 } x = -p

2つの焦点からの距離の和が一定な点の軌跡が楕円。
画鋲2本にヒモをかけて描くイメージだよ！

🔑 楕円の方程式

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)

c = \sqrt{a^2 - b^2}, \quad \text{焦点 } (\pm c,\,0)

PF_1 + PF_2 = 2a \quad (\text{一定})

2つの焦点からの距離の差が一定な点の軌跡が双曲線。
漸近線に近づいていく独特な形をしているよ。

🔑 双曲線の方程式

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

y = \pm \frac{b}{a} x

漸近線: グラフが限りなく近づく直線

c = \sqrt{a^2 + b^2}

x と y を直接の関係式ではなく、別のパラメータ t を使って表す方法。
円や楕円を表すときにとても便利！

🔑 よく使う媒介変数表示

円（半径 r）:

x = r\cos t, \quad y = r\sin t

楕円:

x = a\cos t, \quad y = b\sin t

直交座標 (x, y) の代わりに「距離 r と角度 θ」で点の位置を表す方法。
渦巻きやハート形など、直交座標だと面倒な曲線が簡単に表せるよ！

🔑 直交座標との変換

x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta

r^2 = x^2 + y^2, \quad \tan\theta = \frac{y}{x}

Q1.放物線 y² = 8x の焦点の座標を求めよ。

Q2.次の楕円の焦点間の距離を求めよ。

\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1

Q3.双曲線 x²/9 - y²/16 = 1 の漸近線の方程式はどれか？

Q4.媒介変数表示 x = 2cos t, y = 3sin t はどんな曲線か？

Q5.極座標 (r, θ) = (2, π/3) を直交座標 (x, y) に変換せよ。

Q6.楕円 x²/16 + y²/4 = 1 の長軸の長さはいくつか？

Q7.放物線 x² = -12y の準線の方程式を求めよ。

Q8.極方程式 r = 2 はどんな曲線か？

Q9.サイクロイドの媒介変数表示はどれか？

Q10.双曲線 x²/4 - y²/9 = 1 の焦点の座標を求めよ。