高校数学マスター演習

1. 確率変数と確率分布

さいころの目みたいに「ランダムに値が決まる変数」を確率変数って呼ぶよ。
各値がどれくらいの確率で出るかを表にしたものが確率分布。

🔑 期待値・分散・標準偏差

期待値（平均）:

E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)

分散:

V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2

標準偏差:

\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

🔑 一次変換の公式

E(aX + b) = aE(X) + b

V(aX + b) = a^2 V(X)

💡 ポイント: 分散の公式で b を足しても分散は変わらない！
全体をスライドしても「ばらつき」は同じだからね。

「成功確率 p の試行を n 回繰り返す」ときに、成功回数が従う分布。
コイン投げで表の回数、テストで正解する問題数…いろんな場面で登場するよ。

🔑 二項分布 B(n, p)

P(X = k) = {}_nC_k \; p^k (1-p)^{n-k}

E(X) = np

V(X) = np(1-p)

📝 例: コインを10回投げて表が出る回数 X は B(10, 0.5)。
E(X) = 10×0.5 = 5回, V(X) = 10×0.5×0.5 = 2.5

自然界やテストの点数など、多くのデータが従う「釣り鐘型」の分布。
平均 μ を中心に左右対称で、σ が大きいほど横に広がるよ。

🔑 正規分布の公式

X \sim N(\mu,\; \sigma^2)

標準化（N(0,1) に変換）:

Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,\; 1)

🔑 覚えておくと便利な数値

P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0.68

P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0.95

標本（サンプル）のデータから、母集団全体のことを推測する方法だよ。

🔑 母平均の95%信頼区間

\bar{X} - 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X} + 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

標本平均の周りに「幅」を持たせて、母平均が入る範囲を推定！

💡 仮説検定の流れ:

注意！ 「帰無仮説を棄却できない」＝「帰無仮説が正しい」ではない！
あくまで「差があるとは言えなかった」だけ。この違いは入試でもよく聞かれるよ。

Q1.確率変数 X の期待値 E(X) の意味として正しいものは？

Q2.X の期待値 E(X) = 5, 分散 V(X) = 4 のとき、Y = 2X + 3 の期待値 E(Y) は？

Q3.上の条件（E(X)=5, V(X)=4）で Y = 2X + 3 の分散 V(Y) は？

Q4.コインを 10 回投げて表が出る回数 X は二項分布 B(10, 0.5) に従う。E(X) は？

Q5.二項分布 B(n, p) の分散の公式は？

Q6.標準正規分布 N(0, 1) で、P(Z ≤ 0) の値は？

Q7.正規分布 N(μ, σ²) を標準化する式は？

Q8.正規分布において、μ ± 1σ の範囲に入るデータのおおよその割合は？

Q9.母平均の95%信頼区間を求めるとき、標本平均の両側に足し引きする値に使う z の値はおよそいくつ？

Q10.仮説検定で「有意水準5%で棄却する」とはどういう意味？