高校数学マスター演習

1. いろいろな関数の導関数

数学IIでは xⁿ の微分だけだったけど、数IIIではもっとたくさんの関数を微分するよ。
三角関数・指数関数・対数関数の導関数を覚えよう！

🔑 三角関数の導関数

(\sin x)' = \cos x

(\cos x)' = -\sin x

(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}

🔑 指数・対数関数の導関数

(e^x)' = e^x

(\ln x)' = \frac{1}{x}

(a^x)' = a^x \ln a

(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}

「関数の中に関数がある」ときに使うテクニック。
数IIIの微分では一番使う公式だから、しっかりマスターしよう！

🔑 合成関数の微分法

\{f(g(x))\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

外側を微分 × 内側を微分！

📝 例: sin(3x) の微分 → 外側 cos(3x) × 内側 3 = 3cos(3x)

2つの関数のかけ算・割り算を微分するときの公式。
積の微分は特によく出るから練習しておこう！

🔑 積と商の微分

(fg)' = f'g + fg'

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

指数が x を含むような関数（例: xˣ）は普通の方法では微分できない。
そんなとき、両辺の対数をとってから微分するテクニックが対数微分法！

🔑 対数微分法の手順

y = f(x)^{g(x)} \;\Rightarrow\; \ln y = g(x)\ln f(x) \text{ として微分}

接線はグラフに「接する」直線。法線は接線と直角に交わる直線だよ。

🔑 接線と法線の方程式

y - f(a) = f'(a)(x - a)

接線: 傾き f'(a)

y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a)

法線: 傾き -1/f'(a)（直交条件）

位置を時間で微分すると速度、速度をさらに微分すると加速度になる。
物理でおなじみだけど、数学的にはこれだけ！

🔑 速度・加速度

v(t) = x'(t), \quad a(t) = v'(t) = x''(t)

📝 例: 位置 x(t) = t³ - 3t のとき
速度 v(t) = 3t² - 3、加速度 a(t) = 6t

Q1.sin x を微分せよ。

Q2.eˣ を微分せよ。

Q3.ln x を微分せよ。

Q4.f(x) = sin(3x) の導関数を求めよ。

Q5.f(x) = e²ˣ の導関数を求めよ。

Q6.y = x·eˣ の導関数を求めよ。

Q7.y = ln(x²+1) の導関数を求めよ。

Q8.y = eˣ 上の点 (0, 1) における接線の方程式を求めよ。

Q9.f(x) = sin x の第2次導関数 f''(x) はどれか？

Q10.直線上を運動する点の位置が x(t) = t³ - 3t のとき、t = 1 での速度はいくつか？