高校数学マスター演習

1. いろいろな不定積分

数IIIでは微分できる関数が増えた分、積分もパワーアップ！
まずは基本の公式をしっかり覚えよう。

🔑 基本の積分公式

\int \sin x \, dx = -\cos x + C

\int \cos x \, dx = \sin x + C

\int e^x \, dx = e^x + C

\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C

注意！ 積分定数 +C を忘れずに！不定積分では必須だよ。

合成関数の微分の逆操作。中身を t に置き換えて簡単にするテクニックだよ。
「中身の微分」が外に出ていたらチャンス！

🔑 置換積分の公式

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt \quad (t = g(x))

💡 定積分で置換するときは、積分の上端・下端も t に合わせて変えるのを忘れずに！

積の微分を逆にしたもの。「多項式 × 指数・三角・対数」の積分に使うよ。
対数関数の積分はこれでしか解けない！

🔑 部分積分の公式

\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx

📝 コツ: f(x) に「微分すると簡単になるもの」を選ぶ！
優先順位: 対数 → 多項式 → 三角 → 指数

2つの曲線で囲まれた面積は「上の関数 - 下の関数」を積分すれば求められるよ。

🔑 面積の公式

\int_a^b f(x)\,dx = \bigl[F(x)\bigr]_a^b = F(b) - F(a)

S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx

曲線を x 軸（や y 軸）のまわりにグルッと回転させた立体の体積を求めるよ。
薄い円盤を積み重ねるイメージ！

🔑 回転体の体積

x 軸まわりの回転:

V = \pi \int_a^b \{f(x)\}^2 \, dx

y 軸まわりの回転:

V = \pi \int_c^d \{g(y)\}^2 \, dy

曲がった曲線の長さも積分で求められる！
微小な線分の長さを足し合わせるイメージだよ。

🔑 曲線の長さの公式

y = f(x) のとき:

L = \int_a^b \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2} \, dx

媒介変数表示のとき:

L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt

Q1.次の不定積分を求めよ。

\int \cos x \, dx

Q2.次の不定積分を求めよ。

\int e^{3x} \, dx

Q3.次の不定積分を求めよ。

\int \frac{1}{x} \, dx

Q4.置換積分で ∫2x·eˣ² dx を求めよ。

Q5.部分積分で ∫x·eˣ dx を求めよ。

Q6.次の定積分を計算せよ。

\int_0^{\pi} \sin x \, dx

Q7.y = eˣ, x軸, x = 0, x = 1 で囲まれた面積を求めよ。

Q8.y = x² を x軸のまわりに回転させた立体（0 ≤ x ≤ 1）の体積を求めよ。

Q9.次の不定積分を求めよ。

\int \sin^2 x \, dx

Q10.y = sin x (0 ≤ x ≤ π) の曲線の長さを表す式はどれか？