高校数学マスター演習

1. 二次関数のグラフ

二次関数は $y = ax^2$ の形をした、U字型（放物線）のグラフになる関数だよ。
グラフの「てっぺん」or「底」を頂点、左右対称の線を軸と呼ぶ。

🔑 2つの書き方

y = ax^2 + bx + c

↑ そのまま展開した形。問題でよく出てくる。

y = a(x - p)^2 + q

↑ この形にすると頂点が (p, q) ってすぐわかる！

💡 a の符号でグラフの向きが変わる
$a > 0$ → U字型（下に凸）、 $a < 0$ → ∩字型（上に凸）

📝 平方完成のやり方（超重要！）
$y = x^2 - 4x + 3$ を変形してみよう。
→ xの係数 -4 の半分 = -2、それを2乗して足し引きする
→ $y = (x-2)^2 - 4 + 3 = (x-2)^2 - 1$
→ 頂点は (2, -1) だとわかる！

「xがこの範囲のとき、yの一番大きい値・小さい値は？」という問題。
まず平方完成して頂点を出す → その頂点が範囲の中にあるかチェック！

💡 ここがよく間違えるポイント
頂点が範囲の外にあるときは、範囲の端っこが最大 or 最小になるよ！

$ax^2 + bx + c = 0$ の形の方程式。
因数分解できればラッキー！できないときは解の公式を使おう。

🔑 解の公式（丸暗記！）

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

🔑 判別式 D で解の個数がわかる

D = b^2 - 4ac

D > 0

解が2つ

D = 0

解が1つ（重解）

D < 0

解なし

グラフがx軸と交わる回数 = 解の個数！

二次関数のグラフを使って解くのがコツ！
まず $= 0$ にして x軸との交点を求めてから、グラフの上下で判断する。

$> 0$ のとき → グラフがx軸より上にある部分が答え

$< 0$ のとき → グラフがx軸より下にある部分が答え

📝 例: $x^2 - 3x - 4 < 0$
→ まず = 0 にすると $(x-4)(x+1) = 0$ → x = -1, 4
→ U字型グラフが x軸より下なのは -1 < x < 4 の部分！

Q1.y = x² - 4x + 3 の頂点の座標を求めよ。

Q2.y = -x² + 6x - 5 の最大値を求めよ。

Q3.二次方程式 x² - 5x + 6 = 0 の解を求めよ。

Q4.二次方程式 2x² + 3x - 2 = 0 の解を求めよ。

Q5.x² - 4x + 5 = 0 の判別式 D の値と解の個数を答えよ。

Q6.y = x² のグラフを x 軸方向に 3, y 軸方向に -2 平行移動した式は？

Q7.二次不等式 x² - 3x - 4 < 0 を解け。

Q8.y = 2x² - 8x + 10 の軸の方程式を答えよ。

Q9.0 ≤ x ≤ 4 における y = x² - 2x - 3 の最小値を求めよ。

Q10.二次方程式 x² + kx + 4 = 0 が重解を持つとき、k の値を求めよ（k > 0）。