解の公式はどこから来る？

平方完成から一歩ずつ導いてみよう

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出発点

二次方程式を解きたい。まずは一般形から出発しよう。

ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)

x² の係数を 1 にするために、両辺を a で割る。

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0

定数項を右辺に移して、左辺を x の項だけにする。

x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}

左辺を (x + ○)² の形にしたい。x の係数 b/a の半分 = b/(2a) を2乗して、両辺に足す。

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}

左辺は完全平方式になり、右辺を通分すると：

\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

両辺の平方根を取る（±を忘れずに）。

x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

b/(2a) を移項して整理すれば、解の公式の出来上がり！

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

ポイント

つまり解の公式は「平方完成して整理しただけ」のもの。丸暗記より、この流れを理解していれば忘れても自分で導けるよ！

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