📐 高校数学マスター演習

ネイピア数 e ってなに？

「自然な成長」から生まれる不思議な数

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銀行の利息で考える

元金 1 円、年利 100%。1 年後にいくら？

1×(1+1)=2 円1 \times (1 + 1) = 2 \text{ 円}
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半年ごとに利息をつけると？

半年ごとに 50% の利息をつけて、それを元金に加えて次の半年に回すと：

(1+12)2=2.25 円\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 2.25 \text{ 円}

もっと細かくしたらどうなる？

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n 回に分けると

1 年を n 回に分けて、毎回 1/n の利率で複利計算すると：

(1+1n)n\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

n = 12（毎月）→ 2.613...、n = 365（毎日）→ 2.7146... と、だんだんある値に近づいていく。

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極限

n → ∞ とすると、この値はある定数に収束する。それが e！

e=lim⁡n→∞(1+1n)n=2.71828...e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 2.71828...
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e のすごい性質

f(x) = e^x を微分すると、なんと自分自身になる！「微分しても変わらない唯一の指数関数」。

f(x)=ex⇒f′(x)=exf(x) = e^x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = e^x
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まとめ

ネイピア数 e の定義：

e=lim⁡n→∞(1+1n)n≈2.71828...e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.71828...

ポイント

e は「複利計算を無限に細かくしたときの成長率」。自然界の成長・減衰（人口増加、放射性崩壊）に現れるから「自然対数の底」と呼ばれるんだ！

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