📐 高校数学マスター演習

微分ってそもそも何？

「瞬間の変化率」を極限で捉える

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平均の変化率

関数 y = f(x) で、x が a から a + h まで変わったとき、y の変化量を x の変化量で割ったものが「平均の変化率」。

平均の変化率=f(a+h)−f(a)h\text{平均の変化率} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
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図で考える

これはグラフ上の 2 点 (a, f(a)) と (a+h, f(a+h)) を結ぶ「割線（セカント）」の傾きに相当する。

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h を 0 に近づける

h → 0 のとき、2 点はどんどん近づき、割線は「接線」に近づく！

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導関数の定義

この極限が存在するとき、それを導関数と呼ぶ。

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
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具体例：f(x) = x² を微分

定義に当てはめて計算してみよう。

f(x+h)−f(x)h=(x+h)2−x2h=2xh+h2h=2x+h\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h

h → 0 とすると：

f′(x)=2xf'(x) = 2x
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微分の意味

つまり f'(a) とは：

f′(a)=「x = a におけるグラフの接線の傾き」= 「x = a での瞬間の変化率」f'(a) = \text{「x = a におけるグラフの接線の傾き」= 「x = a での瞬間の変化率」}

ポイント

微分は「変化を細かく見る虫メガネ」みたいなもの。距離を微分すれば速度、速度を微分すれば加速度になるよ！

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