余弦定理はなぜ成り立つ？

三平方の定理の拡張を座標で証明しよう

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準備

三角形 ABC で、A を原点に置き、辺 AB を x 軸上に乗せる。各辺の長さを a = BC, b = CA, c = AB とする。

A を原点、B を x 軸上に置くと、C の座標は角 A と辺 b を使って表せる。

A = (0, 0), \quad B = (c, 0), \quad C = (b\cos A, \; b\sin A)

2点間の距離の公式を使って BC² を計算する。

a^2 = BC^2 = (c - b\cos A)^2 + (b\sin A)^2

各項を展開してみよう。

= c^2 - 2bc\cos A + b^2\cos^2 A + b^2\sin^2 A

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を使って整理する。

= c^2 - 2bc\cos A + b^2(\cos^2 A + \sin^2 A)

= b^2 + c^2 - 2bc\cos A

余弦定理が導かれた！

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

ポイント

A = 90° のとき cos A = 0 だから、a² = b² + c² となって三平方の定理に戻る！余弦定理は三平方の定理の一般化なんだ。

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