なぜ nCr = n!/(r!(n-r)!) なの？

順列と組合せの関係を理解しよう

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順列のおさらい

n 個から r 個を選んで「並べる」方法の数が順列。

{}_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}

これは「n 個から r 個選んで一列に並べる」場合の数。

組合せは「選ぶだけ」で並べない。順序を区別しないのがポイント。

例：{A, B, C} から 2 個選ぶとき、AB と BA は順列では別だけど、組合せでは同じ。

3 人 {A, B, C} から 2 人選んで並べる場合（順列）：

AB, \; BA, \; AC, \; CA, \; BC, \; CB \quad = 6 \text{ 通り} \;(= {}_3P_2)

{A, B} と {B, A} は同じ組合せ。2 個の並べ替え方は 2! = 2 通り。だから順列を並べ替え数で割ればいい。

6 \div 2 = 3 \text{ 通り} \;(= {}_3C_2)

r 個選んだものの並べ替え方は r! 通り。よって：

{}_nC_r = \frac{{}_nP_r}{r!} = \frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}

組合せの公式が導かれた！

{}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}

ポイント

「順列は並べる、組合せは選ぶだけ」だから、順列 ÷ 並べ替え数 = 組合せ。このイメージがあればいつでも導けるよ！

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