📐 高校数学マスター演習

加法定理を証明しよう

単位円と距離の公式で導く

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単位円上の 2 点

単位円（半径 1 の円）上に 2 つの点を取る。

P=(cos⁡α,  sin⁡α),Q=(cos⁡β,  sin⁡β)P = (\cos\alpha, \; \sin\alpha), \quad Q = (\cos\beta, \; \sin\beta)
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PQ の距離²（余弦定理）

原点 O と P, Q で三角形を作ると、OP = OQ = 1、挟む角が α - β。余弦定理より：

PQ2=12+12−2⋅1⋅1⋅cos⁡(α−β)=2−2cos⁡(α−β)PQ^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(\alpha - \beta) = 2 - 2\cos(\alpha - \beta)
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PQ の距離²（座標）

今度は座標を使って PQ² を直接計算する。

PQ2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2PQ^2 = (\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2
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展開

各項を展開する。

=cos⁡2α−2cos⁡αcos⁡β+cos⁡2β+sin⁡2α−2sin⁡αsin⁡β+sin⁡2β= \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta + \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta
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整理（sin² + cos² = 1 を使う）

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 と sin⁡2β+cos⁡2β=1\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 を使う。

=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)= 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)
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比較して完成！

Step 2 と Step 5 の結果を比較すると：

2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)2 - 2\cos(\alpha - \beta) = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)

よって：

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta

ポイント

cos(α-β) がわかれば、β を -β に置き換えて cos(α+β)、さらに sin = cos(90°-) の関係で sin の加法定理も全部出せるよ！

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